Frage von Royalz, 37

Hallo ich hätte da mal eine Frage zu Extrem/Wendepunkten?

Ich muss eine kleine Präsentation halten, leider liegt mir Mathe nicht wirklich. Die gegebene Formel ist

-1/6x^4+x²-4/3x+1/2.

Ich soll Extrempunkte und Wendepunkte bestimmen,kann mir jemand dabei bitte helfen?

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von MeRoXas, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 23

f(x)=-1/6x^4+x²-4/3x+1/2

Für Extrempunkte:

Wir stellen die hinr. Bed. für Extrema auf (f'(x)=0 und f''(x) ungleich 0)

Wir leiten f ab.

f'(x)=-2/3x³+2x-4/3

Wir leiten f' ab.

f''(x)=-2x²+2



Wegen der hinr. Bed. gilt:

0=-2/3x³+2x-4/3

Das sieht nun erst einmal schwierig aus. Mithilfe eines Tricks wird es sehr leicht. Wir klammern -2/3 aus.

0=2/3*(x³-3x+2)

Satz vom Nullprodukt:

Ein Produkt wird 0, wenn einer der Faktoren 0 ist.

2/3 ist nie 0, es gilt:

x³-3x+2=0

Hier können wir wieder geschickt umschreiben.

(x-1)²*(x+2)=0

Entweder ist (x-1)²=0 oder x+2=0

(x-1)²=0 -------> Doppelte Nullstelle bei x=1

x+2=0  ---------> Nullstelle bei x=-2



An den Stellen x=1 und x=-2 haben wir potenzielle Extrema. Wir überprüfen nun, ob wir Hoch-, Tief oder Sattelpunkte haben. Das tun wir mit der zweiten Ableitung.



f''(x)=-2x²+2

f''(1)=0 ---------> Sattelpunkt bei x=1

f''(2)=-6  ---------> Hochpunkt bei  x=2


Nun ermitteln wir die y-Koordinaten der von uns ermittelten Stellen.

f(1)=0 ----------> Sattelpunkt (1|0)

f(-2)=9/2 -----------> Hochpunkt (-2|9/2)



Für Wendepunkte:

Anmerkung: Einen Wendepunkt kennen wir bereits, nämlich den Sattelpunkt. Ich führe ihn hier trotzdem noch einmal auf.

Wir stellen die hinr. Bed. für Wendestellen auf (f''(x)=0 und f'''(x) ungleich 0)

f''(x)=-2x²+2

0=-2x²+2 | +2x²

2x²=2 | :2

x²=1 | Wurzel

x1,2=+-1



Potenzielle Wendestellen liegen bei x=-1 und x=1. Wir überprüfen, ob das stimmt. Dazu nutzen wir die dritte Ableitung.

f'''(x)=-4x

f'''(-1)=4 -------> ungleich 0, Wendepunkt bei x=-1

f'''(1)=-4 -------> ungleich 0, Wendepunkt bei x=1



Nun ermitteln wir die y-Koordinaten der von uns ermittelten Stellen.

f(-1)=8/3    ----------> Wendepunkt 1 (-1|8/3)

f(1)=0        ----------> Wendepunkt 2 (1|0)


Die Funktion hat ein globales Maximum bei (-2|9/2). Zudem hat sie zwei Wendepunkte. Der erste Wendepunkt liegt bei (-1|8/3). Der zweite Wendepunkt, welcher zeitgleich ein Sattelpunkt ist, liegt bei (1|0).

Expertenantwort
von DepravedGirl, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 15

f(x) = - (1 / 6) * x ^ 4 + x ^ 2 - (4 / 3) * x + (1 / 2)

f´(x) = - (2 / 3) * x ^ 3 + 2 * x - (4 / 3)

f´´(x) = - 2 * x ^ 2 + 2

f´´´(x) = -4 * x

--------------------------------------------------------------------------------------------------

Extremstellen liegen an den Stellen für x an denen f´(x) Nullstellen hat.

- (2 / 3) * x ^ 3 + 2 * x - (4 / 3) = 0

f´(x) = - (2 / 3) * x ^ 3 + 2 * x - (4 / 3)

Wertetabelle für f´(x) aufstellen -->

x | f´(x)

-10 → 645.33333
-9 → 466.66667
-8 → 324
-7 → 213.33333
-6 → 130.66667
-5 → 72
-4 → 33.33333
-3 → 10.66667
-2 → 0
-1 → -2.66667
0 → -1.33333
1 → 0
2 → -2.66667
3 → -13.33333
4 → -36
5 → -74.66667
6 → -133.33333
7 → -216
8 → -326.66667
9 → -469.33333
10 → -648

Du kannst direkt 2 Nullstellen anhand der Wertetabelle ablesen -->

x _ 1 = -2

x _ 2 = 1

Nun setzt man das noch in f(x) ein um Punkte zu erhalten -->

Zur Erinnerung --> f(x) = - (1 / 6) * x ^ 4 + x ^ 2 - (4 / 3) * x + (1 / 2)

f(-2) = 9 / 2

f(1) = 0

An diesen Stellen können Extremstellen sein, welcher Art diese sind erfährst du über die 2-te Ableitung f´´(x)

Zur Erinnerung --> f´´(x) = - 2 * x ^ 2 + 2

f´´(-2) = -6

Da f´´(-2) < 0 ist, deshalb ist das ein Maximum

Maximum am Punkt (-2 | 9 / 2)

f´´(1) = 0

Da f´´(1) = 0 ist, liegt kein Maximum vor und auch kein Minimum, es kann ein Sattelpunkt vorliegen, dass prüft man mithilfe der 3-ten Ableitung -->

Zur Erinnerung --> f´´´(x) = -4 * x

f´´´(1) = -4

Da das ungleich Null ist, deshalb liegt an der Stelle x = 1 ein Sattelpunkt vor, wäre die 3-te Ableitung an der Stelle x = 1 gleich Null gewesen, dann wäre es kein Sattelpunkt gewesen.

Sattelpunk am Punkt (1 | 0)

----------------------------------------------------------------------------------------------------

Nun überprüft man noch, ob es Wendepunkte gibt.

Wendepunkt liegen dort wo die 2-te Ableitung Nullstellen hat und gleichzeitig die 3-te Ableitung ungleich Null ist.

Zur Erinnerung --> - 2 * x ^ 2 + 2

- 2 * x ^ 2 + 2 = 0 | : (-2)

x ^ 2 - 1 = 0 | + 1

x ^ 2 = 1 | √(...)

x _ 1 = -1

x _ 2 = +1

Nun schauen wir, welchen Wert die 3-te Ableitung an der Stelle x = -1 hat -->

Zur Erinnerung --> f´´´(x) = -4 * x

f´´´(-1) = -4 * -1 = +4

Das ist ungleich Null, also liegt an der Stelle x = -1 eine Wendestelle.

Das ist aber noch kein Punkt, das müssen wir erst noch in f(x) einsetzen -->

Zur Erinnerung --> f(x) = - (1 / 6) * x ^ 4 + x ^ 2 - (4 / 3) * x + (1 / 2)

f(-1) = 8 / 3

Wendepunkt am Punkt (-1 | 8 / 3)

Die zweite Nullstelle von f´´(x) müssen wir nicht mehr untersuchen, weil wir ja schon festgestellt hatten, dass dort ein Sattelpunkt liegt. Sattelpunkte sind Wendepunkte mit horizontalen Tangenten, d.h. dort ist zusätzlich f´(x) = 0

Ein Sattelpunkt ist also eine Wendestelle, jedoch eine Wendestelle mit zusätzlich f´(x) = 0

Antwort
von TheCorrado321, 21

für die Extrema einfach differenzieren und die Nullstellen ausrechnen

und für die Wendepunkte zweimal differenzieren und dann nochmal Nullstellen ausrechnen. 

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