Frage von WaldSchnee, 77

Hallo! Ich habe zwei Aufgaben angefügt bei der ich eure Hilfe benötige?

Schönen Sonntag,

ich bräuchte eure Hilfe zu zwei Aufgaben. Es geht um Differentialgleichung 1. Ordnung. Mein Problem ist, dass ich die ersten Wochen der Vorlesung aufgrund von Krankheit verpasst habe. Könnt ihr mir die 1. Erklären damit ich die zweite selbstständig lösen kann?

Da ich keinen schimmer habe brauche ich Hilfe von außen :-/

Grüße Christian

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von TheAceOfSpades, 19

Also

dy/dx = -2xy |Umformen

1/y dy = -2x dx |Integrieren

ln(y) + C1 = -x² + C2 | Umformen

y = e^(-x²+C)

Versuch die zwei wie du meinst erstmal selber.

Kommentar von WaldSchnee ,

Dankeschön für die Lösung

Also kann man pauschal sagen,

(1) dass man zunächst umformt , dass x und y auf einer seite Steht.

(2) wenn man beides auf "sotiert" hat, dieses dann integriert.

aber warum tut man beim 3. Schritt noch umformen?

War dies alles? Oder hast du zwischen Schritte weggelassen? Bzw. muss man nicht das Integral in die DGL einsetzen?

Mein Lösungsvorschlag für die zweite:

x dy/dx + 3y = 0

1. Umformen | -3y | :y | *dx | -x

1/y dy = -3 -x dx

2. integrieren

ln(y) + c1 = -3x - 1/2x^2 +c2

3. Umformen

e^´(-3x-1/2x²+C)             /für c1 und c2 schreibt man einfach nur C?

Hoffe das Stimmt, danke für deine Hilfe !!

Kommentar von TheAceOfSpades ,

Also du hast einen Fehler beim Umformen. Ob dein Ergebnis stimmt kannst du übrigens immer überprüfen indem du y(x) in die DGL einsetzt.

Kommentar von TheAceOfSpades ,

Es muss nach dem ersten Umformen lauten:

  1. y⁻¹ dy = -3x⁻¹ dx  | Integrieren ergibt
  2. ln(y) + C1 =2        | Umformen ergibt mit C = C2-C1
  3. y =exp(- 3 ln(x) + C)

Überprüfen:

  1. x dy/dx + 3y = 0    | dazu ersten Ableitung von y bilden
  2. dy/dx = -3/x exp(- 3 ln(x) + C) | also
  3. x (-3/x exp(- 3 ln(x) + C)) + 3(exp(- 3 ln(x) + C)) = 0

Kürzen ergibt hier tatsächlich auf beiden Seiten Null. y stimmt also.

Wegen der Konstanten:

Konstante - Konstante ergibt immer noch eine Konstante. Deswegen kann man C1 und C2 zusammenfassen zu C. Die Lösung einer DGL hat immer so viele Konstanten wie die Ordnung der DGL ist. Als Ordnung wird dabei die höchste auftretende Ableitung bezeichnet.

Das hier eingesetzte Verfahren heißt Separation oder Trennung der Variablen. Es lässt sich aber bei weitem nicht auf alle  Differentialgleichungen anwenden. Im Laufe der Vorlesung während bestimmt noch weitere analytische (z.B. die Variation der Konstanten) sowie numerische Verfahren behandelt.

Kommentar von WaldSchnee ,

2Danke für die Ausführliche Antwort. Habe noch 3 weitere gerechnet und das Ergebnis hat über eingestimmt.

Ich hätte noch eine Frage zu zwei verschiedenen Aufgabentypen, falls du nochmal zeit hättest ! Eine habe ich offentlich richtig gelöst und die zweitere habe ich garkein Ansatz und ich hab erst wieder am Freitag "Nachhilfe" :/

Aufgabe 1. dy/dx = (3-4xy²)/(4x²+6y²)

1. (Aufschlüsseln)

3-4xy² dy + 4x²+6y²

 (ein Freund meinte im Gespräch, dass man hier noch einen Schritt machen kann, stimmt das?)

2.

M = 3 - 4xy²  dy     | integrieren

 Integral M *dx + k(y) = u

N = 4x² + 6y² dx       = u

Integral N *dy + l(x) = u

3. Integrieren

Integral 3 - 4xy²  dy       | integrieren, aber nur y

= 3x - 2x² y²  = u

Integral 4x² + 6y^2 dy    | Integrieren, aber nur y

= 4x² + 2y³  = u

4. Zusammenfassen der Konstante

4x² + 3x  + 2y^3 2x²y²

Hoffe diese Aufgabe stimmt, und dann noch eine Aufgabe bei der ich einen Ansatz bräuchte:

2x dx + ( 2x -3y - 3) dy = 0

Hoffe du kannst nochmal Helfen :/

Kommentar von WaldSchnee ,

bzw. ich werde die Frage auch nochmal "Offiziel" stellen, da ich mir nicht sicher bin, ob du dies nochmal lesen wirst. Danke nochmal für deine Hife

Kommentar von TheAceOfSpades ,

Ich kriege eine Benachrichtigung wenn du hier schreibst. Somit lese ich das hier eher als deine neue Frage. Also k.a. ob schon jemand bei der anderen Frage geantwortet hat.

Zur ersten Aufgabe. Diese Aufgabe würde man numerisch Lösen. Zu deiner Rechnung. Du hast wieder einen Fehler beim ersten Umformen: (3 -4*x*y^2)dx = (4*x^2 +6*y^2)dy.

Weiterhin kann man erst Integrieren, wenn man auf einer Seite die eine und auf der anderen Seite die andere Variable hat (deswegen auch Separation der Variablen).

Zur zweiten Aufgabe:

dy/dx = -2x/( 2x -3y - 3)

Also selbe Ausgangslage.

Kommentar von WaldSchnee ,

bisher keine wirkliche Sinnvolle antwort erhalten. Einen Moment ich pack schnell meine Sachen wieder aus. Danke!

Kommentar von WaldSchnee ,

so. Viel umformen musste ich ja nicht oder habe in dem Fall nicht gemacht. Meinst du in dem Fall das ich vergessen habe das "dy" hin zuschreiben? oder hätte ich direkt nach y und x sotieren sollen? Also quasi:

(4x²-4x ) dx = (6y²/y²) dy

Danke für deine Ausdauer.

Kommentar von TheAceOfSpades ,

Wie kommst du auf

(4x²-4x ) dx = (6y²/y²) dy?

Kommentar von WaldSchnee ,

**hier stand etwas falsches


Kommentar von TheAceOfSpades ,

Woher hast du denn die beiden letzten Aufgaben. Habt ihr numerische Verfahren behandelt?

Kommentar von WaldSchnee ,

sind Aufgaben aus dem Tutorium. Es lade eben zwei Screenshots hoch, die mir ein Freun zugesendet hat.

Hoffe ich hab das richtige verfahren hier hochgeladen. Aber dies müsste doch stimmen. Habe es versucht auch in diesem "Stil" zu lösen

http://www.directupload.net/file/d/4526/8kd6u92d\_jpg.htm


http://www.directupload.net/file/d/4526/8drvcsyy\_jpg.htm

Kommentar von TheAceOfSpades ,

Ok jetzt wird das ganze etwas klarer.

Du sollst gar nicht y(x) finden.

Also nach der ersten Umformung haben wir

(3 -4*x*y^2)dx = (4*x^2 +6*y^2)dy

M = (3 -4*x*y^2) dM/dy = -8xy

N = -(4*x^2 +6*y^2) dN/dx = -8x

Damit wäre aber dM/dy nicht gleich dN/dx.

oder hab ich jetzt selber iwo einen Fehler?

Kommentar von WaldSchnee ,

ich schreib mal deinen Lösungsvorschlag etwas ausführlicher:

dy/dx = (3-4xy²)/(4x²+6y2)

(3-4xy²) dx = (4x²+6y²)dy

m/y = 8xy

n/x = 8x

(vor m und n jeweils dieses Sonderzeichen)

dann muss man m und n noch jeweils Integrieren, oder?

Integral 3 - 4xy²  dx       | integrieren, aber nur x

= 3x - 2x² y²  = u

Integral 4x² + 6y^2 dy    | Integrieren, aber nur y

= 4x² + 2y³  = u

4. Zusammenfassen der Konstante

4x² + 3x  + 2y^3 2x²y²

oder hab ich mich jetzt total verfahren?

Kommentar von TheAceOfSpades ,

Das "Sonderzeichen" steht nur für partielle Ableitung.

dM/dy = -8xy

dN/dx = -8x

Das Problem was ich an dieser Stelle habe ist, dass die Bedingung dM/dy = dN/dx nicht erfüllt ist.

Kommentar von TheAceOfSpades ,

Dementsprechend hast du

u = 3x - 2x² y² +a(y)

u = -4x² - 2y³ + b(x)

Aber - 2x² y² sind ja ungleich -4x²

Kommentar von WaldSchnee ,

Danke!

hab jetzt eben nochmal mit einem Freund telefoniert

er meinte damit ist die Bedingung nicht erfüllt und damit es "not exactly" und smit braucht man einen Integrating factor "f" damit die Bedingung

(ich nutze p als partielle Ableitung)

(p*f*M)/p*y = (p*f*N)/p*x

aber wie kommt man auf diesen Faktor?

Kommentar von WaldSchnee ,

er hat mir noch einen Screenshot zukommen lassen, aber sehr unleserlich

http://www.directupload.net/file/d/4527/luveov3s_jpg.htm

ich flipp noch aus mit diesen Mathe :/

Kommentar von TheAceOfSpades ,

Ich schau mir das morgen nochmal in Ruhe an. Bin nämlich im Moment auch ein bisschen überfragt.

Ein Mathe Student könnte vielleicht besser helfen.

Kommentar von WaldSchnee ,

das mache ich!

eine Frage zu anderen Aufgabe:

dort haben wir wieder das selbe Problem oder?

(2xy²-y)dx+(2x-x²y)dy = 0

(2xy²-y)dx    = - (2x-x²y)dy

M = 4xy

N = 2xy

und somit wieder das selbe Problem, oder?

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