Frage von vanessa2301, 34

hallo, ich habe morgen eine prüfung und wollte nur fragen ob 1,78 eine rationale zahl ist?

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathematik & Schule, 24

Hallo,

jede Zahl, die als Bruch zweier ganzer Zahlen dargestellt werden kann, ist rational.

1,78=178/100, also rational.

Herzliche Grüße,

Willy

Expertenantwort
von SlowPhil, Community-Experte für Mathematik, 3

Eine Zahl, deren Dezimaldarstellung endlich viele Nachkommastellen hat oder periodisch ist, ist immer rational, denn sie lässt sich in beiden Fällen durch einen Bruch zweier ganzer Zahlen darstellen.

Eine Zahl a, deren Dezimaldarstellung endlich viele, sagen wir, n Nachkommastellen hat, kann ich immer als Bruch a/1 darstellen, den ich erweitern kann, z.B. mit 10ⁿ, bei a=1,78 also mit 10², und dann habe ich einen Bruch zweier ganzer Zahlen, den ich in diesem Fall kürzen kann .

Eine periodische Zahl ist ganzzahliges Vielfaches einer Zahl, die man als geometrische Reihe in einer (negativen) Zehnerpotenz beschreiben kann. Die geometrische Reihe

x + x² + x³ + …

hat den Grenzwert

x/{1 – x},

falls |x| < 1 ist, und eine negative Zehnerpotenz ist natürlich kleiner als 1.

Beispielsweise ist

1,7878… = 1 + 78·(∑[n=1]^{∞}10⁻²ⁿ)
= 1 + 78·10⁻²/{1 – 10⁻²}
= 1 + 78/99 = 177/99 = 59/33,

ganz offensichtlich auch dies ein Bruch zweier ganzer Zahlen.

Eine irrationale Zahl lässt sich nicht als einen solchen Bruch darstellen - so ist sie ja definiert - und ihre Dezimaldarstellung muss daher unendlich viele Nachkommastellen haben, die sich nicht wiederholen.

Antwort
von 14years, 25

Ja 1,78 ist eine rationale zahl. rationale zahlen kann man als bruch darstellen und sind sozusagen endlich. 1,787878... ist eine irrationale zahl da sie eine u endliche zahl ist

Kommentar von varlog ,

1,7878787878...=59/33

Nicht jede Zahl mit unendlich vielen Nachkommastellen ist    irrational. Es kommt darauf an, dass die Nachkommastellen nicht periodisch sind.

Kommentar von SlowPhil ,

Letzteres stimmt nicht. Periodische Zahlen sind ebenfalls rational.

Antwort
von Rubezahl2000, 7

Ja, Zahlen mit endlich vielen Nachkommastellen sind IMMER rationale Zahlen.

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