Frage von Stefan9407, 94

Hallo, ich habe eine Frage bezüglich trigonometrischen Funktionen. Berechne ohne Taschenrechner: cos3pi4, tan-3pi/4, sin2pi/3, sin7pi/12 Wie stell ich das an?

Expertenantwort
von SlowPhil, Community-Experte für Mathematik, 27

Du musst Deine Schreibweise vereindeutigen, etwa mit Klammern:

cos(3π/4)
tan(-3π/4)
sin(2π/3)
sin(7π/12)

Male ein Achsenkreuz und einen Kreis um den Ursprung, nenne seinem Radius '1' und nimm die +x-Halbachse als einen der Winkelschenkel. Sie schneidet den Kreis bei (1;0).

Der andere Schenkel zum Winkel φ schneidet den Kreis bei (cos(φ); sin(φ)).

Vielleicht ist es leichter, dass Gradmaß zu benutzen, weil es das gewohnte ist. Wenn 2π =̂ 360° gilt, so entspricht 3π/4 natürlich 135°, 2π/3 entspricht 120° und 7π/12 entspricht 105°.

Zumindest kannst Du sofort sehen, dass alle Winkel zwischen 90° und 180° sind. Der Cosinus ist also negativ, weil die Schnittpunkte des zweiten Winkelschenkels mit dem Kreis alle auf der linken Hälfte liegen. Der Sinus ist beim ersten, dritten und vierten Winkel positiv.

Außerdem sollte ersichtlich sein, dass der Tangens von π/4 bzw. 45° gleich 1 ist. Der Sinus und der Cosinus von 45° sind nämlich beide 1/√2, wie man sich aus der Anwendung von Pythagoras auf ein Quadrat klar machen kann. Außerdem kannst Du hier bei vielen der Aufgaben Symmetriebeziehungen ausnutzen.

Antwort
von FuHuFu, 29

Ein paar cos und sin Werte kennt man ja auswendig:

sin 0° = sin 0 = cos 90° = cos π/2 = 1
sin 30° = sin π/6 = cos 60° = cos π/3 = 1/2
sin 45° = sin π/4 = cos 45° = cos π/4 = 1/2 √2
sin 60° = sin π/3 = cos 30° = cos π/6 = 1/2 √3
sin 90° = sin π/2 = cos 0° = cos 0 = 1

Du brauchst dann für die oben aufgeführten Aufgaben den sin 15° = sin π/12. Den rechne ich Dir hier mal vor:

sin 15° = sin (60°-45°) = -sin 45° cos 60° + sin 60°cos 45° = 
= -(1/2 √2) (1/2) + (1/2 √3) (1/2 √2) = 1/4 (√6 + √2)

Dabei habe ich das Additionstheorem für den Sinus verwendet:
sin(x1−x2)=sinx1cosx2−sinx2cosx1

So, jetzt hast Du alle Angaben, wie Du die gesuchten Werte auf die hier aufgeführten Werte zurückführen kannst.

Antwort
von wictor, 31

Das kannst du an entsprechenden Graphen zu Sinus, Cosinus und Tangens ablesen.

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/71/Sine_cosine_one_period...

Kommentar von Stefan9407 ,

Vielen Dank Wictor :) Nur bei cos3pi/4 ist das Ergebnis z. B. -wurzel2/2. Wie komme ich da auf die genauen Ergebnisse? Ohne Taschenrechner? :( Bin im 1. Semester Maschinenbau...

Kommentar von wictor ,

Es geht um Höhere Mathematik 1 denk ich mal, oder? Bei uns gab es damals Tabellen, wo man genau diese Werte ablesen konnte. Die braucht man für die eulersche Form der komplexen Zahlen, wenn man keinen Taschenrechner zur Hand hat. Sicher, dass man euch keine solche Tabelle in der Übung gezeigt hat?

Kommentar von wictor ,

Hier ist z.B. so eine Tabelle

https://images.gutefrage.net/media/fragen/bilder/bogenmass---zwei-winkel/0_origi...

Die Berechnung per Hand hat FuHuFu oben schon erklärt. Wird aber meiner Erfahrung nach niemals abgefragt.

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