Frage von ThomasLA1, 24

Hallo, Ich brauche für die folgende Aufgabe eine ausführliche Erklärung. Ich soll die Restklassen berechnen. a) [4!] ist ein Element von Z/5 Z=Ganze Zahlen?

Restklassen

Antwort
von ReimundAcker, 9

Mit Z/5Z bezeichnet man die Menge der Restklassen modulo 5.

Eine Restklasse modulo 5 ist die Menge aller ganzen Zahlen, die bei (ganzzahliger) Division denselben Rest lassen.Zum Beispiel bezeichnet [3] die Menge aller ganzen Zahlen, die bei Division durch 5 denselben Rest wie 3 lassen, also 3, denn 3:5 = 0 Rest 3.

Also besteht [3] aus allen Vielfachen von 5, zu denen jeweils 3 addiert wird:
..., -3*5+3,  -2*5+3, -1*5+3, 0*5+3, 1*5+3, 2*5+3, 3*5+3, ...
oder kürzer: [3] = {..., -12, -7, -2, 3, 8, 13, ...}.

Bei Division durch 5 können nur die Reste 0, 1, 2, 3 oder 4 bleiben. Die Restklassen modulo 5 sind also [0], [1], [2], [3] und [4] oder kürzer:
Z/5Z = { [0], [1], [2], [3], [4] }.

4! liest man "4 Fakultät" und das ist definiert als 1*2*3*4, d.h.
4! = 1*2*3*4 = 24.

24 lässt bei Division durch 5 den Rest 4.
4 lässt bei Division durch 5 ebenfalls den Rest 4.
24 und 4 lassen also bei Division durch 5 denselben Rest, nämlich 4.
Dann sind aber die Zahlen, die bei Division durch 5 denselben Rest lassen wie 24 durch 5, genau die Zahlen, die bei Division durch 5 den Rest 4 lassen, also ist [24] = [4] und daher wegen 24 = 4! auch [4!] = [4].






Kommentar von ThomasLA1 ,

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