Frage von FragetrowtnA, 39

Hallo, da es ja zum einen die Exponentialfunktion und zum andern Die Potenzfunktion gibt....?

stellt sich mir nun die Frage, ob diese auch unterschiedlich abgeleitet werden und wenn ja wie . Danke im Voraus ?

Expertenantwort
von Rhenane, Community-Experte für Mathe, 12

Die Potenzfunktion wird nach folgender Regel abgeleitet (Dir sicher schon bekannt): f(x)=x^n => f'(x)=n*x^(n-1)

Bei der Exponentialfunktion funktioniert das so nicht (also 2^x ist abgeleitet nicht x*2^(x-1) !)
Hier muss man über Umwege gehen: f(x)=2^x kann man schreiben als f(x)=e^ln(2^x)=e^(ln(2)*x)
(e^ln hebt sich letztendlich auf, genauso wie "Wurzel aus Quadrat")

Die e-Funktion abgeleitet ergibt die e-Funktion selbt mal der inneren Ableitung, d. h.

f(x)=e^(ln(2)*x) => f'(x)=e^(ln(2)*x) * ln(2)

Jetzt das e^... wieder "rückwandeln" => f'(x)=ln(2) * 2^x
[e^(ln(2)*x)=e^ln(2^x)=2^x]

allgemein gilt daher: f(x)=a^x => f'(x)=ln(a)*a^x

Kommentar von FragetrowtnA ,

Vielen Dank für den ausführlichen Kommentar :) Aber sollte ich in der Schule das ableiten mit der e-Funktion noch nicht behandelt haben, werde ich das ableiten der exponentialfunktion vermutlich noch nicht gemacht haben oder ? Also es gibt auch keine oder Möglichkeit diese abzuleiten, welche vielleicht schon besprochen wurde ?

Kommentar von Rhenane ,

nein, wenn ihr die e-Funktion noch nicht behandelt habt, dann werdet ihr die allgemeinen Exponentialfunktionen auch noch nicht abgeleitet haben

Antwort
von Schachpapa, 23

Exponentialfunktion: a^x  Ableitung ln(a) * a^x

Potenzfunktion: x^a Ableitung a*x^(a-1)

ln ist dabei der natürliche Logarithmus zur Basis e

Kommentar von FragetrowtnA ,

Was bedeutet denn dieses In(a) ? Und wo kommt das plötzlich her ?

Kommentar von Schachpapa ,

Beispiel: 2^x kann man umschreiben zu e^(ln(2) * x)
Die Ableitung ist nach der Kettenregel:

ln(2) * e^(ln(2) * x) = ln(2) * 2^x also etwa 0,693 * 2^x

Die Kettenregel werdet ihr in der Schule behandeln, wenn die Ableitung der Exponentialfunktionen ansteht ;-)

Und, vielleicht ist es dir aufgefallen:

Die Ableitung von e^x ist e^x

Kommentar von FragetrowtnA ,

Also wenn die Kettenregel in der Schule noch nicht behandelt wurde, werde ich vermutlich auch nur die Ableitung der Potenzfunktion und nicht die der Exponentialfunktion können müssen oder ?

Kommentar von Schachpapa ,

Vermutlich ist das so. Manchmal wird die Ableitung der Exponentialfunktion aber auch nicht hergeleitet, sondern fällt als Regel vom Himmel. Dann muss man das einfach auswendig lernen.

Ob du das können musst, sollte sich aus dem Unterricht ergeben. Immerhin fällt dir auf, dass es einen Unterschied geben könnte. Das ist nicht selbstverständlich.

Antwort
von hayemaker94, 30

natürlich
Potenz erweitern mit e^ln

Kommentar von FragetrowtnA ,

Wie ? 

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