hallo wie komm ich bei dieser Funktion auf die Nullstellen ohne ableiten f(x)=e^-x-0.2e^x?

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6 Antworten

Für Nullstellen brauchst du nie eine Ableitung:

e^(-x) - 0,2 e^x       =  0      | Umformen nach Potenzgesetz Nr. 5
(e^x)^(-1) - 0,2 e^x = 0        | setze z = e^x           (e^x)² = z² für später
z^(-1)       - 0,2 z     = 0       | *z
    1         - 0,2 z²     = 0       | -1   | *(-1)
                  0,2 z²    = 1       | *5
                        z²    = 5       | Resubstitution

                      (e^x)² = 5           | ln
                  ln (e^x)² = ln 5       | 3. Log-Gesetz
             2 * ln (e^x)  = ln 5       | ln e hebt sich
                     2 x      = ln 5       | /2
                        x      = (ln 5)/2
                        x     =  0,8047

Probe ist gemacht. Stimmt. Prüf es gerne nach.
 
      



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Kommentar von Geograph
18.06.2016, 14:43

richtig, aber vielleicht doch etwas umständlich ??

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Hallo,

klammere einfach e^x aus:

e^x*(1/e^(2x)-0,2)=0

Da e^x niemals Null werden kann, muß 1/e^(2x)-0,2 Null werden, damitdie Gleichung erfüllt ist:

1/e^(2x)=0,2

e^(2x)=1/0,2=5

Jetzt logarithmieren:

2x=ln(5)

x=0,5*ln(5)=0,8047189562

Herzliche Grüße,

Willy

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e^(-x) -0.2*e^x=0 | +0.2e^x

e^(-x)=0.2e^x | ln


Regel: ln und e heben sich auf

Regel: ln(a*b)=ln(a)+ln(b)

Regeln angewandt:


-x=ln(0.2)+x | +x

0=ln(0.2)+2x | -ln(0.2)

-ln(0.2)=2x | :2

0.804718955=x

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Kommentar von Volens
18.06.2016, 14:56

Der lange Term ist nicht schlecht, sonst bekommt man in der Probe schon in der 5. Stelle eine von 0 verschiedene Ziffer. Das sollte zwar keinen aufregen, kommt einem aber im ersten Moment seltsam vor.
Ich hatte der Übersichtlichkeit wegen etwas weiter vorher gerundet.

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0=e^-x - .2 e^x

e^-x = .2 e^x

Und daraus ln ziehen.

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e^-x = 0.2e^x

e^^-x / e^x = 0,2

e^(-2x) = 0,2

usw

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Du setzt 0 = e^(-x) - 0.2*e^(x) und versuchst, das aufzulösen.

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Kommentar von happyeffa
18.06.2016, 13:37

ja und genau da weiß ich nicht weiter...

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