Frage von durmus12345, 38

Halbwertzeit Aufgabe mathbuch ?

Strontium-90 hat eine halbwertzeit von 28.8 Jahren . Bestimme die jährliche prozentuale abnahme. Als Lösung soll 2.4% raus kommen aber ich verstehe nicht wie die drauf kommen.

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathematik, 17

Hallo,

da rechnest Du einfach
x^28,8=0,5

ln(x^28,8)=ln(0,5)

28,8*ln(x)=ln(0,5)

ln(x)=ln(0,5)/28,8=-0,02406761044

x=e^-0,02406761044=0,9762197049 oder (1-0,023788029511)

Die Abnahme steht hinter dem Minuszeichen in der Klammer. In Prozent ausgedrückt ist das 2,379 oder rund 2,4 %.

Herzliche Grüße,

Willy

Antwort
von Melvissimo, 16

Sagen wir, N(t) ist die Funktion, die die Menge von Strontium-90 nach t Jahren angibt. Setzen wir c = N(0), so ist das insbesondere die Menge, mit der wir starten. 

Da es sich um exponentiellen Zerfall handelt, sollte N(t) die folgende Form haben:

N(t) = c * e^(-λt) für irgendeine Zahl λ.

Ok, die Halbwertszeit beträgt 28.8 Jahre; d.h. nach 28.8 Jahren hat sich die Menge halbiert:

N(28.8) = c/2.

Setzen wir auf der linken Seite dieser Gleichung unsere Formel ein, erhalten wir:

c * e^(-28.8λ) = c/2

=> e^(-28.8λ) = 1/2

=> -28.8λ = ln(1/2)

=> λ = ln(2) / 28.8

Ok, jetzt kennen wir den Wert von λ und können ausrechnen, wie groß die Menge nach einem Jahr noch ist:

N(1) = c * e^(-ln(2) / 28.8 * 1).

Damit ist das Verhältnis N(1) / N(0) gerade e^(-ln(2)/28.8) / 1.

Das sind ungefähr 0.9762, also bleiben nach einem Jahr noch 97,62% übrig. Damit wird die Menge jährlich um etwa 2.4% reduziert.

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