Frage von jennymetal1999, 139

Halbwertszeit Formel umstellen?

Ich will die Formel N(t)=N0(1/2)^t/th umstellen (th =halbwertszeit) und bin nun bei Lg(N(t)/N0) = t/thlg(1/2) und weiß nicht, wie ich das weiter nach th umformen kann...?

Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Gleichungen & Mathe, 58

Korrigieren ist mühsam. Ich rechne neu, um Ergebnis zu bestätigen.                 

                   N(t) = No * (1/2)^(t/th)        | Seiten vertauschen

No * (1/2)^(t/th) = N(t)                           | /No
        (1/2)^(t/th) = N(t) / No                   | log      (egal, welcher)
  log (1/2)^(t/th) = log (N(t) / No)           | Logarithmengesetze 3 und 2
(t/th) * log (1/2) = log (N(t)) - log (No)   | log (1/2)

t/th  = (log (N(t)) - log (No)) /  log (1/2)                    | Kehrwert
th/t  = 1 / ( (log (N(t)) - log (No)) /  log (1/2) )           | *t

  th  = t /  (log (N(t)) - log (No)) /  (log (1/2) )
  th  = (t * log (1/2))  /  (log (N(t)) - log (No))



Die Theorie:

http://dieter-online.de.tl/Logarithmus.htm


Expertenantwort
von SlowPhil, Community-Experte für Physik, 33

@jennymetal1999
Welchen Logarithmus meinst Du mit »lg«?

Es gibt im Prinzip unendlich viele Logarithmen zu jeweils der Basis a ∈ ℝ, die ich mal als log[a](y) bezeichne, wobei

(1.1) y = a^{x} ⇔ x = log[a](y)

ist. Dabei gelten die Potenzgesetze

(1.2) a^{x₁}·a^{x₂} = a^{x₁ + x₂},

(1.3) a^{x₁}/a^{x₂} = a^{x₁ – x₂},

und

(1.4) (a^{x})^{k} = a^{k·x}

Als Basen gebräuchlich sind (s. Taschenrechner) vor allem 10 und

(2.1) e = ∑[n=0]^{∞} 1/n! ≈ 2,718281828…

(die Zahl sieht periodisch aus, ist aber irrational). Der Logarithmus zur Basis e heißt natürlicher Logarithmus und wird mit ln(x) bezeichnet, weil

(2.2) e^{x} = ∑[n=0]^{∞} xⁿ/n!

als einzige Funktion wirklich ihre eigene Ableitung ist, wie man an (2.2) schon sieht.

Der Witz ist, dass man die ganzen »unnatürlichen« Logarithmen eigentlich gar nicht braucht, denn aus (1.4) folgt

(3.1) y = a^{x} = e^{x·ln(a)} ⇔ log[a](y) = ln(y)/ln(a).

Daher lässt sich jede Exponentialfunktion als e-Funktion ausdrücken, nämlich durch

(3.2) a^{x} = e^{x·ln(a)} = e^{–x·ln(1/a)},

sodass sich Deine Gleichung auch als

(4.1) N(t) = N(0)·e^{–(t/t[h])·ln(2)}

schreiben lässt (dabei wird ln(2)/t[h]=:λ auch die Zerfallskonstante genannt, und 1/λ, nicht t[h], ist die durchschnittliche Lebensdauer des Nuklids (Nuklid = Atomkern-Sorte), aber das nur am Rande).

Daraus folgt wiederum

(4.2) ln(N(t)/N(0)) = – (t/t[h])·ln(2),

und Du musst nur noch beide Seiten mit t[h] multiplizieren und durch ln(N(t)/N(0)) teilen, um nach t[h] aufzulösen, also

(4.3) t[h] = t·ln(2)/ln(N(0)/N(t)),

wobei ich das Logarithmengesetz

–ln(y) = ln(1/y)

ausgenutzt habe.

Diese Berechnung von t[h] setzt voraus, dass man eine gewisse Zeit-Menge N(t) eines Nuklids hat und die Ausgangsmenge N(0) kennt. Oft kennt man jedoch die Menge N und die Aktivität A, dann kann man t[h] aus der Differentialgleichung

(5.1) A = –Ṅ = λN = ln(2)/t[h]·N(

berechnen, wobei

(5.2) t[h] = ln(2)·N/A

herauskommt.

Expertenantwort
von fjf100, Community-Experte für Mathe, 24

z=t/th

lg(N(t)/No)=z *lg(1/2) ergibt z=lg(N(t)/No) / lg(1/2)

t/th=lg(N(t)/No) / lg(1/2)

th= t * lg(1/2) / (lg(N(t)/No) 

Expertenantwort
von KDWalther, Community-Experte für Mathe, 50

Noch zwei Umformungen:

1. mit th multiplizieren
2. durch lg(N(t)/N0) dividieren

Dann müsste herauskommen:

th = t · lg(1/2) / lg(N(t)/N0)

Korrekt?

Kommentar von jennymetal1999 ,

Zuerst mal th und nicht mal t! Das war mein Fehler, dankesehr!:)

Kommentar von KDWalther ,

gern geschehen!

Antwort
von Franzi151100, 54

Ich würde an deiner Stelle etwas anders beginnen:

1/2*N0=N0*a^t

N0 kürzt sich dann heraus. Wenn ein Wert für a gegeben ist, musst du ihn dafür einsetzten und die "Gleichung" nach t auflösen. Weiter kann ich dir leider nicht helfen, da ich den Wert für a nicht kenne.

Kommentar von jennymetal1999 ,

Wir haben gegeben, dass nach 56s 75% zerfallen sind, also habe ich als Ausgangswert 100% und als N(t) 25%, mit t=56s.

Kommentar von Franzi151100 ,

Dann würde ich folgendermaßen vorgehen: 

Zuerst würde ich a ausrechen, indem du die angegebenen Werte benutzt -> 0,25*N0=N0*a^56 (N0 kürzt sich wieder heraus). Nach meinen Berechnungen wäre a dann ca. 0,9755. Folglich ergibt sich N(t)=N0*0,9755^t.

Als nächstes schreibst du dann

1/2N0=N0*0,9755^t auf, N0 kürzt sich wieder heraus und du musst den Rest wieder nach t auflösen. Bei mir kommt für t ca. 27,9437s heraus. 

Ich hoffe, es stimmt

Expertenantwort
von Ellejolka, Community-Experte für Mathe, 42

lg(Nt/No) = t/th • lg 0,5

th = (t•lg0,5) / lg(Nt/No)

Kommentar von jennymetal1999 ,

Ich kann gerade den rechenschritt nicht ganz nachvollziehen, der t nach links bringt. Nur multiplizieren?

Kommentar von Ellejolka ,

in 20 sekunden gehts vielleicht nicht; schreib es auf; sonst frag dann nochmal nach.

Antwort
von poseidon42, 32

Also du hast die Gleichung:

N(t) = N(0)*0.5^(t/T)   mit der Halbwertszeit T

gegeben. Nun sei die Halbwertszeit bei bekanntem t, N(t) und N(0) gesucht.


N(t) = N(0)*0.5^(t/T)   II *1/N(0)

N(t)/N(0) = 0.5^(t/T)   II ln(...)

ln( N(t)/N(0) ) = ln(0.5)*t/T  II *1/ln(0.5)

ln(N(t)/N(0))/ln(0.5) = t/T  II *T

T*[ ln(N(t)/N(0))/ln(0.5) ] = t   II *1/[ ln(N(t)/N(0))/ln(0.5) ]

T = t/[ ln(N(t)/N(0))/ln(0.5) ]

T = t*ln(0.5)/ln(N(t)/N(0))  II ln(0.5) = -ln(2)

T = -t*ln(2)/ln(N(t)/N(0))   II ln(a/b) = ln(a) - ln(b)

T = -t*ln(2)/(ln(N(t)) - ln(N(0))

Damit haben wir nun also unsere gesuchte Halbwertszeit T gefunden, mit:

T = (-t)*ln(2)/(ln(N(t)) - ln(N(0)))

Hier noch eine Seite zu den Rechenregeln mit dem Logarithmus:

http://www.formelsammlung-mathe.de/logarithmus.html

Kommentar von poseidon42 ,

Nicht von dem Minuszeichen beirren lassen, da N(t) < N(0) ist für t > 0, ist ln(N(t)) - ln(N(0)) < 0 und damit hast du dann anschließend eine negative Zahl im Nenner und Zähler stehen und somit erhälst du insgesamt eine positive Zahl:

(-a)/(-b) = (-1)*a/((-1)*b) = a/b

Für den Fall, dass t < 0 gilt, folgt ln(N(t)) > ln(N(0)) und damit ist der Nenner positiv ! Aber beachte, dass -t > 0 gilt, falls t negativ ist:

-(-|t|) = |t| > 0  mit dem Betrag | . |

Antwort
von Zwieferl, 10

Einfach weitermachen: ×th und ÷lg(N(t)/N₀ → th = t·lg(½) / lg(N(t)/N₀) ... Voilà!

Antwort
von Jelko37, 26

Hast du kein TS mit CAS oder was?

Kommentar von jennymetal1999 ,

CAS?

Kommentar von KDWalther ,

Es soll ja Leute geben, die noch Wert darauf legen, dass man eine Gleichung "händisch" umformen kann :-))

Kommentar von Jelko37 ,

Ja aber das ist in diesem Fall doch relativ kompliziert...ComputerAlgebraSystem. Da kann man dann die Gleichung mit einem solve Befehl eingeben und diese wird dann nach der gewünschten variabel umgestellt

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