Frage von sebomba, 13

Häufunspunkte, Lim inf und sup?

Kann mir jemand eine einfache Herangehensweise sagen, wie ich am besten Häufungspunkte und den limes superior bzw. limes inferior herausfinden bzw. zeigen/beweisen kann? Z.B. bei -(1/n)+(-1)^n

Antwort
von Rowal, 6

Also zumindest im angegebenen Beispiel ist es einfach: Zunächst einmal kann es keinen größeren Häufungswert (es ist schöner von Häufungswerten zu reden, damit man eine andere Bezeichnung als bei Häufungspunkten von Mengen hat; allerdings ist die Bezeichnung Häufungspunkt üblich) als 1 geben, denn kein Folgenwert ist größer als 1 (sogar alle kleiner). Aber 1 ist auch Häufungswert, denn die Teilfolge für gerades n konvergiert gegen 1. Folglich ist 1 der Limes superior.

Es gibt auch keinen Häufungswert < -1, denn für jedes ε > 0 gibt es höchstens endlich viiele Folgenwerte die kleiner als -1 -ε sind, da alle Folgenwerte mit n > 1/ε größer sind als  -1 -ε. Andererseits ist -1 ein Häufungswert, denn die Teilfolge für ungerades n konvergiert gegen -1, d.h. -1 ist der Limes inferior.






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