Frage von Bounty01, 34

Habt Ihr Tipps für die Lösung dieser Aufgabe der Stochastik?

Guten Tag,

ich habe im Rahmen einer Vorlesung folgende Fragestellung erhalten und habe leider nicht die geringste Ahnung, wie ich da rangehen soll:

10% der Bevölkerung haben Blutgruppe B. Ein Krankenhaus in Berlin benötigt jährlich 2000 Blutkonserven der Blugruppe B. Wie vielen Menschen muss das Krankenhaus Blut näherungsweise Blut abnehmen um seinen Bedarf mit einer Warhscheinlichkeit von 95 Prozent oder höher decken zu können?

Ich würde mich für jeden Tipp, der mich der Lösung einen Schritt weiter bringt freuen.

Beste Grüße

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von WeicheBirne, 16

Laß uns erst einmal betrachten mit welcher Wahrscheinlichkeit Du eine bestimmmte Anzahl k an Blutkonserven der Gruppe B erhältst wenn Du insegsamt n Spender hast. Das kannst Du mit der binomischen Formel errechnen wenn Du noch bedenkst, daß die Wahrscheinlichkeit, daß ein bestimmter Spender die Gruppe B hat 0,1 ist:

(n über k) 0,1^k 0,9^(n-k)

Die Wahrscheinlichkeit, daß Du mindestens 2000 Konserven der Gruppe B erhältst wenn es n Spender gibt erhältst Du aus der Summe aller Wahrscheinlichkeiten mit k>=2000. Also

Summe_(k>=2000) (n über k) 0,1^k 0,9^(n-k)

Du suchst nun nach dem kleinsten n für das gilt 

0,95<=Summe_(k>=2000) (n über k) 0,1^k 0,9^(n-k)

Also

Min_(n)(0,95<=Summe_(k>=2000) (n über k) 0,1^k 0,9^(n-k))

Das zu lösen scheint mir ziemlich haarig zu sein. Du kannst bei der großen Stichprobe Deine Binomialverteilung allerdings durch eine Normalverteilung mit dem Mittelpunkt 0,1n und der Varianz 0,09n annähern. Die bezeichne ich hier mal mit N(0,1n; 0,09n). Du würdest dann nach dem kleinsten n suchen für das gilt

0,05<= Integral von minus unendlich bis 1999 N(0,1n; 0,09n)

Eine analytische Lösung dieser Ungleichung ist sicherlich immer noch ziemlich haarig aber durch Ausprobieren kannst Du ziemlich schnell eine Abschätzung finden. Die Integration kannst Du online z.B. hier durchführen

http://onlinestatbook.com/2/calculators/normal_dist.html

Kommentar von ELLo1997 ,

Bei solch großen Zahlen wäre auch eine Normalverteilung eine hinreichend gute Approximation.

Kommentar von WeicheBirne ,

Genau das sage ich in meiner Antwort auch ;)

Kommentar von WeicheBirne ,

Ich weiß nicht ob Du das so weit verfolgen willst, aber mir ist noch eingefallen, daß Du eine analytische Lösung kriegen könntest indem Du eine Minimierung mit Zwangsbedingung durchführst.

In diesem Fall würdest Du die Funktion

f(n) = n

minimieren, wobei die Zwangsbedingung

Integral von minus unendlich bis 1999 N(0,1n; 0,09n) - 0,05 = 0 

gilt. Zu lösen wären dann die Gleichungen

d (n - lambda (Integral von minus unendlich bis 1999 N(0,1n; 0,09n) - 0,05)/dn = 0

und

d (n - lambda (Integral von minus unendlich bis 1999 N(0,1n; 0,09n) - 0,05)/d lambda = 0

Keine Ahnung ob Dir das jetzt zu weit geht. Laß mich wissen wenn Du da noch mehr Erklärungen zu haben möchtest.

Kommentar von Bounty01 ,

Vielen Dank für deine Antwort. Deine Tipps haben mich auf eine (hoffentlich richtige) Lösung gebracht.

Antwort
von DerTroll, 19

Du kannst dann davon ausgehen, daß 10% der gewonnenen Blutkonserven die Blutgruppe B haben. Und wenn diese 10% 2000 sein müssen, dann mußt du nur ausrechen, wie hoch die Grundmenge sein muß, also wie hoch dan 100% sind.

Antwort
von Wechselfreund, 5

Ohne Gewähr: 20708

Ansatz: mü - 1,64 sigma = 2000

Dann ist unterhalb dieser Grenze nur 5%

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