Frage von StudentHN, 61

Habe ich die Summe meiner Aufgabe richtig berechnet?

Hallo liebes Forum,

ich habe unten folgende Aufgabe drangehängt und so vereinfacht:

(2^4 + 2^5 + 2^6 + 2^7 + 2^8)=496^5

Aber als Ergebnis habe ich raus im Taschenrechner 3,001984064 und da steht hoch 13. was bedeutet das nun genau?

Danke

Marc

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von Willy1729, Community-Experte für Mathematik, 23

Hallo,

verschiebe das Komma um 9 Stellen nach rechts (also bis hinter die letzte Ziffer) und füge 13-9=4 Nullen an.

Das ^13 bedeutet einfach, daß Du das, was der Taschenrechner anzeigt, mit 10^13 multiplizieren sollst.

Herzliche Grüße,

Willy

Kommentar von StudentHN ,

Ist das ergebnis von Rhenane sicher?

Kommentar von Willy1729 ,

Rhenane ist spitze in Mathe, weiß aber wohl nicht, wie dieses 

Π zu verstehen ist, wenn der Laufindex nicht vorkommt.

Die Summe ist 496, das ist korrekt.

496 kannst Du auch als 496*k^0 schreiben.

Wenn Du jetzt das Produkt für k=4 bis k=8 von 496*k^0 berechnest, rechnest Du 496*4^0*496*5^0 bis 496*8^0.

Da 4^0, 5^0 usw. jedesmal 1 ergibt, hast Du also das Produkt 496*1*496*1 (insgesamt 5mal), was nichts anderes ist als 496^5.

Willy

Kommentar von Rhenane ,

Das mit dem 5-fachen Durchlaufen der Summe habe ich ja "zufällig" berücksichtigt (ohne die k^0 zu "sehen"). Aber ich denke, ich interpretiere die hintereinander stehenden Zeichen anders (evtl. falsch?). Ich sehe das wie 2 Schleifen bei der Programmierung: Für jedes i wird erst die Summe von 2^i * k^0 gebildet (innere Schleife), also jede Summe ergibt 5 * 2^i und das ist dann eines von 5 Faktoren. Somit komme ich auf (5 * 2^4) * (5 * 2^5) * ... * (5 * 2^8) = 5^5 * 2^30. 

Aber, wie erwähnt, möglich dass ich die Produkt-/Summenzeichen-Kombi falsch auflöse.

Kommentar von Willy1729 ,

Nee, ich sehe gerade, ich hatte die Sache mit vertauschten Indizes berechnet, also als ob k=4 bis 8 bei dem Produktzeichen und i= 4 bis 8 bei dem Summenzeichen stünde.

Dann ist die Sache nämlich klar: Die Summe für sich ergibt 496 und das Produkt ist jeweils k^0=1, so daß man auf 496^5 kommt.

Möglicherweise sollte die Aufgabe auch so lauten.

Das Produkt für 2^i für i=4 bis 8 ist natürlich 2^30. Ich habe aber keine Ahnung, was dann das Summenzeichen soll, außer daß man die Summe aus 2^i+0*k berechnet, was insgesamt 5*2^30 ergeben würde.

Willy

Kommentar von Willy1729 ,

Wenn Du die Summe zuerst berechnest, kämst Du dann auf 5*2^i, was dann in Verbindung mit dem Produkt - wie Rhenane bereits schrieb - 5^5*2^30 ergeben würde.

Ich glaube, so ist es korrekt, erst innen, dann außen.

Wie gesagt, ich hatte die Aufgabe mit vertauschten Indizes berechnet.

Willy

Kommentar von Willy1729 ,

Vielen Dank für den Stern.

Willy

Expertenantwort
von PWolff, Community-Experte für Mathematik, 7

Das k kommt im zu summierenden Term nicht vor.

(Ist das beabsichtigt oder ein Versehen in der Aufgabenstellung?)

D. h. die Summe entspricht einfach einer Multiplikation mit 5. (8-4+1: siehe auch "Zaunpfahlfehler")

Wir haben damit

Ergebnis = (5 * 2^4) * (5 * 2^5) * ... * (5 * 2^8)

Das ist 5^5 * 2^(4+5+6+7+8) = 5^5 * 2^30 = 3355443200000 = 3,355443*10^12

(Das stellt der Taschenrechner als 3,355443 E12 dar)

(Wie kommst du auf die "+" zwischen den Zweierpotenzen?)

Expertenantwort
von Rhenane, Community-Experte für Mathematik, 15

Bin mir gerade nicht sicher, wie die Summe zu sehen ist, wenn der Laufindex nicht im Term vorkommt.
Wenn die Summe von k=4 bis 8 bedeutet 5 * 2^i (4 bis 8=5 Summanden), dann müsste das Ergebnis (5 * 2^4) * (5 * 2^5) * ... = 5^5 * 2^(4+5+6+7+8)
=5^5 * 2^30 = 3,355 * 10^12

(Das was Du als Hoch 13 hälst, bedeutet " * 10^13", d. h. das Komma müsste um 13 Stellen nach rechts verschoben werden, um die komplette Zahl ohne Komma darzustellen.)

Antwort
von kreisfoermig, 12

Machs ohne.

∑2ᵏ über k von 4 bis 8
= ∑2ᵏ über k von 0 bis 8
– ∑2ᵏ über k von 0 bis 3
= ∑2ᵏ über k von 0 bis 9–1
– ∑2ᵏ über k von 0 bis 4–1
= (2⁹–1)/(2–1) – (2⁴–1)/(2–1) geometrische Reihe
= (2⁹–1) – (2⁴–1)
= 2⁹ – 2⁴
= ...

Jetzt erzeugen wir rekursiv die 2-er Potenzen:

n |   2ⁿ
========
0 | 1
1 | 2
2 | 4
3 | 8
4 | 16
5 | 32
6 | 64
7 | 128
8 | 256
9 | 512

Darum gilt im letzten Schritt:

= ...
= 512 – 16
= 494

Wie bist du bloß auf 496⁵ gekommen?

Kommentar von kreisfoermig ,

Jetzt fällt mir das Bild auf!
Die Lösung ist ja wie die ander Benutzerin erwähnt:

П(5.2^i) = (5^5).2^(Summe i von 4 bis 8) = (5^5).(2^30) = (5^5).(2^(6.5)) = (5.2^6)^5 = 320^5

Kommentar von PWolff ,

Sorry, da hast du dich verrechnet: 512-16=496.

Kommentar von kreisfoermig ,

Danke, genau ; ) Da habe ich dort sowieso die falsche Aufgabe behandelt. Ich merkte später das Bild, wo drin die echte Aufgabe stand. Die richtige Lösung ist 320⁵, d. h.  2³⁰·5⁵.

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