Wenn ich ein Erbe ausschlage um die Schulden des Erblassers nicht zu übernehmen, kann ich dann eine auf mich ausgestellte Sterbegeldversicherung des Erblassers annehmen um die Bestattungskosten zu übernehmen, oder habe ich dann automatisch ein Erbe angenommen und muss auch die Schulden des Erblasssers bezahlen?

Der Begünstigte einer Sterbgeldversicherung oder einer Lebensversicherung ist nicht automatisch (Mit)erbe. Der Verstorbene hat mit der Bestimmung der Begünstigung nur eine Verfügung für den Todesfall getroffen, die wie eine Schenkung noch zu Lebzeiten keinen Einfluss auf die Erbenstellung hat.
Die Erbausschlagung muss innerhalb von 6 Wochen ab Kenntnis vom Erbfall und der Erbfolge erfolgen bzw., wenn man durch letztwillige Verfügung als Erbe eingesetzt wird, ab Eröffnung der Verfügung. Die Erbausschlagung muss gegenüber dem Nachlassgericht oder vor einem Notar erklärt werden. Danach ist eine Annahme der Erbschaft nicht mehr möglich.
Von der Annahme und Ausschlagung der Erbschaft völlig unabhängig ist die Frage, wer die Bestattungskosten zu tragen hat und ob es dafür Sterbegeld oder oder eine Versicherung gibt. Die Bezahlung von Bestattungskosten ist keine Erbannahme!
Auch die Verfügung über die Sterbegeldversicherung ist keine Erbannahme durch schlüssiges Verhalten, wenn sonst nicht über Nachlassgegenstände verfügt wird.

Ich würde im konkreten Fall die Rechnung(en) für die Beerdigung an die Sterbegeldversicherung mit der Bitte um Bezahlung senden.
Die Nicht-Annahme eines Erbes musst du beim zuständigen Amtsgericht erklären. Dort kannst du auch nachfragen - um ganz sicher zu gehen - ob damit eine Annahme des Erbes verbunden ist.
Es kommt letztlich auf den Verwandschaftsgrad an. Wenn du nicht verwandt bist, ist das wie eine Zuwendung von Todes wegen und damit keine Erbschaft.
Das Eine hat mit dem Anderen nichts zu tun. Zwar sind Bestattungskosten sog. Nachlassverbindlichkeiten, die vom Erben zu bestreiten sind, aber in diesem Fall wollte der Verstorbene wohl auf Nummer sicher gehen und hat extra eine Versicherung abgeschlossen, die die Beerdigung regelt. Versicherungen haben mit dem Erbe tatsächlich nichts zu tun, weil das Erbe vermögensrechtlich schon vor dem Tod bestanden hat - die Versicherung aber erst mit dem Tod als Rechtsgrund zahlt. Das Erbe (das Vermögen des Verstorbenen) war schon zu Lebzeiten vorhanden und geht in der Sekunde des Todes nur auf die Erben über, während der Anspruch aus der Versicherung eben erst mit dem Tod entsteht, also vorher noch gar nicht vorhanden war. Deshalb hat das Eine mit dem Anderen gar nichts zu tun.
Also:
Ein Erbe kann man binnen 6 Wochen nach dem Tod und nach Kenntnis des Erben vom Tod (beides ist wichtig! - manche erfahren vom Tod erst viel später!) notariell ausschlagen, weswegen man dann auch nicht für evtl. Schulden haften muss. Evtl. Schulden müssen bzw. können also auch nicht mit einer solchen Bestattungsversicherung gegengerechnet werden. Viele dieser Versicherungen zahlen auch nicht direkt an den Versicherungsnehmer, sondern nur an ein zuvor festgelegtes Bestattungsunternehmen direkt. Aber selbst, wenn das nicht so ist: man kann beruhigt diese Gelder im Sterbefall entgegennehmen und für diesen Zweck verwenden, ohne Angst haben zu müssen, man müsste irgendwelche Schulden des Verstorbenen damit bezahlen, wenn man vorher als evtl. in Frage kommender Erbe die Erbschaft ausgeschlagen hat. Abgesehen davon:
Wer als Erbe in Frage kommt und sich nicht sicher ist, ob das Erbe evtl. überschuldet ist, kann einen Antrag an das Nachlassgericht auf Nachlasspflegschaft/verwaltung stellen - eben genau mit dieser Begründung. Das Nachlassgericht ist immer das Gericht des Sterbeortes - egal, wo der Verstorbene gewohnt hat. Der Vorteil eines solchen Antrages ist, dass man dann selbst bei Feststellung einer Überschuldung des Erbes in diesem Fall immer nur in Höhe des Erbes haftet - niemals aber mit seinem eigenen Vermögen. In diesem Fall spielt es auch keine Rolle, ob die Nachlassverwaltung länger als 6 Wochen dauert oder nicht. Die Ausschlagungsfrist von 6 Wochen spielt hier keine Rolle. Das ist also immer eine elegante und sichere Methode, gerichtlich eine Überschuldung des Erbes prüfen zu lassen - die Kosten werden aus dem Erbe bestritten. Das Nachlassgericht kann aber sehr schnell das Nachlassverfahren mangels Masse einstellen, was nichts anderes bedeutet, dass das Erbe meist so sehr überschuldet ist, dass noch nicht einmal die Kosten des Nachlassverfahrens gedeckt werden. Dann ist wirklich nichts zu holen...
Soweit mir bekannt ist sind Versicherungen die einen Begünstigten benannt haben keine Erbmasse. Wenn der Versicherte jedoch Schulden hat, ist das sicherlich anders. Sonst würde jeder der Schulden hat einfach Versicherungen mit einem Begünstigten im Todesfall abschließen.

Keineswegs ! Durch die schriftliche Verweisung bist Du Empfänger der Versicherungssumme !
Solche Versicherungen, Lebensversicherungen zählen nicht zum Erbgut !
Wenn du es genau wissenw illst, kannst du hier mal stöbern:
http://www.fastcontent.de/2008/03/03/informationen-zur-sterbeversicherung/