Habe hier zwei Aufgaben, bei denen ich gerade nicht weiterkomme ln(sqrt(x))+1,5*ln(x)=ln(2x) bzw. (lg(x)²-lg(x)=2 Welche Lösungen besitzen diese Funktionen?

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4 Antworten

lg (x)² - lg(x) = 2        

Ist da wirklich der 10-er Logarithmus gemeint?
Meinst du mit lg (x)² nun lg (x²) oder (lg x)² ? Beides ergibt sinnvolle Lösungen.

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Kommentar von fortuner90
17.07.2016, 14:24

(lgx)²-lgx=2 ist gemeint, komme bei beiden nicht auf die Lösung, stehe total auf dem Schlauch

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Kommentar von karajan9
17.07.2016, 14:27

Und noch ein kleiner Tipp, damit es diese Verwechselung nicht gibt: Man schreibt für (lg x)² in der Regel lg² x und für lg (x²) schreibt man lg x² :-)

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Kommentar von Volens
17.07.2016, 14:30

Wir können uns auch um die erste Gleichung kümmern.

ln(sqrt(x))+1,5*ln(x)=ln(2x) 

Ist dir aber geholfen, wenn ich das jetzt einfach vorrechne?
Ich schreibe es erst einmal mundgerecht um:

ln (x^(1/2)) + 1,5 ln (x) = ln (2x)      | 3. Log-Gesetz
0,5 * ln x     + 1,5 ln x  = ln (2x)      | zusammenfassen
      2 ln x                     = ln (2x)      | wieder 3. Log-Gesetz
         ln x²                    = ln 2x        | ln weglassen
             x²                    = 2x            | /x;      keine Funktion!
                       x           = 2

Versuch, es nachzuvollziehen.
Zur Probe kannst du es auch einsetzen.

Löse doch auch die zweite mal nach dem Modell.
Wenn es nicht klappt, schrei(b).


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Ich interpretiere die Gleichungen so:

ln(√x) + 1,5*ln(x) = ln(2x)

(log₁₀(x))² - log₁₀(x) = 2

Für die erste Gleichung:

ln(√x) + 1,5*ln(x) = ln(2x)

ln(x⁰’⁵) + ln(x¹’⁵) = ln(2x)

ln(x⁰’⁵) + ln(x¹’⁵) - ln(2x) = 0

ln(x⁰’⁵ * x¹’⁵) - ln(2x) = 0

ln(x²) - ln(2x) = 0

ln(x²/(2x)) = 0

ln(x/2) = 0

x/2 = 1

x = 2

IL = {2}

Für die zweite Gleichung:

(log₁₀(x))² - log₁₀(x) = 2

Durch Substitution erhältst du eine quadratische Gleichung:

u := log₁₀(x)

u² - u = 2

u² - u - 2 = 0

Mithilfe der abc- oder pq-Formel erhältst du:

u₁ = 2

u₂ = -1

Rücksubstitution:

log₁₀(x) = 2

x₁ = 10² = 100

log₁₀(x) = -1

x₂ = 10⁻¹ = 1/10

IL = {1/10; 100}

Ich hoffe, ich konnte dir helfen; wenn du noch Fragen hast, kommentiere einfach. 

LG Willibergi 

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Allgemein gilt ln(x^a) = a ln(x)

Es ist ln(√x) = 0,5 ln(x) und ln(2x) = ln(2) + ln(x).

Also 1. Gleichung

0,5 ln(x) + 1,5 ln(x) = ln(2) + ln(x).

(0,5 +1,5) ln(x) = ln(2) + ln(x) ∣∣  -ln(x)

ln(x) = ln(2)

x = 2


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Also bei der anderen Aufgabe bin ich bis zu x²-x-e²=0 gekommen, ist das richtig?

(lg(x))²-lg(x)=e²

lg(x)*lg(x)-lg(x)=e²

x*x-x-e²=0

x²-x-e²=0 Passt das?

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