Frage von Vanessathalia, 19

Habe hier eine Aufgabe in Mathe zum Thema Mengenlehre (geordnete Paare) und komme nicht weiter.. kann mir jemand helfen?

Das ist die Aufgabe: Erinnern sie sich daran, dass ein geordnetes Paar (a,b) definiert wurde als (a,b) ={a},{a,b} . Zeigen Sie, dass für zwei geordnete Paare (a,b) und (x,y) gilt: (a,b) = (x,y) ⇐⇒ a = x∧b = y.

Hinweis: Sie müssen hier zwei Richtungen zeigen. Machen Sie eine Fallunterscheidung in zwei Fälle, je nachdem ob es sich bei(a,b) ={a},{a,b} um eine ein- oder zweielementig Menge handelt.

Ich habe versucht zu zeigen, dass x=y sein muss, aber irgendwie kommt da was nicht hin, sodass am ende die Gleichung rauskommt. ich weiß auch nicht welche fälle ich unterscheiden soll, da ich ja eine Fallunterscheidung machen muss...

Antwort
von eddiefox, 8

Hallo,

Folgendes Argument nutzen wir mehrfach:

Aus {a,b}={x} folgt a=b=x (*)

(da {a,b} die einelementige Menge {x} ist)

Sei nun (a,b)=(x,y), d.h. laut Definition
{{a},{a,b}}={{x},{x,y}}

Fall 1: Sei x=y.
Das ist gleichwertig mit {{a},{a,b}}={{x},{x}}={{x}}.
Aus (*) folgt daraus a=b=x.

Fall 2: Sei x≠y.
Da {a}∈{{a},{a,b}}={{x},{x,y}}, gilt
{a}∈{{x},{x,y}}, also {a}={x} oder {a}={x,y}.

Da x≠y, ist {a}={x,y} nicht möglich.

Deshalb muss {a}={x} sein, also a=x.
(Wieder das Argument (*))

Wegen {x,y}∈{{a},{a,b}} gilt:
{x,y}={a}, was nicht möglich ist, da x≠y,
also {x,y}={a,b}. Da a=x, ist {a,b}={x,b},
also {x,y}={x,b} und das bedeutet y=b.

Wir haben (a,b)=(x,y) => a=x und b=y gezeigt.

Ist umgekehrt a=x und b=y, so genügt das Hinschreiben
der der Definition von (a,b) und das Ersetzen von
a durch x und b durch y die Gegenrichtung des Beweises.

Gruss
Antwort
von kreisfoermig, 4

Ich gehe axiomatisch vor.

(Ext) ∀X,Y. X=Y ⟷ ∀z.(z∈X ⟷ z∈Y)..

Defn 1. ∀a,x. x∈{a} ⟷ x=a.
Defn 2. ∀a,b,x. x∈{a,b} ⟷ (x=a oder x=b).


Lemma 0. für alle a,x gilt {a}={x} ⟹ a=x.
Beweis. Laut Defn 1 gilt a∈{a}. Wegen {a}={x} und des (Ext)-Axioms gilt a∈{x}. Aus Defn 1 folgt a=x. QED.

Lemma 1. für alle a,b,x gilt {a,b}={x} ⟹ a=b=x.
Beweis. Laut Defn 2 gelten a,b∈{a,b}. Wegen {a,b}={x} und des (Ext)-Axioms gelten a,b∈{x}. Aus Defn 1 folgt a=x sowie b=x. QED.

Lemma 2. für alle a,b,x,y gilt {a,b}={x,y} ⟹ (a=x & b=y) oder (a=y & b=x)
Beweis. Laut Defn 2 gelten a,b∈{a,b}. Wegen {a,b}={x,y} und des (Ext)-Axioms gelten a,b∈{x,y}. Aus Defn 2 folgt (i):
                     (a=x oder a=y) & (b=x oder b=y).
Aus symmetrischen Gründen gilt (ii):
                     (x=a oder x=b) & (y=a oder y=b).
Aus (i) folgt folgende Fallunterscheidung:
    Fall 1. a=x & b=y.
    Fall 2. a=y & b=x.
    Fall 3. a=x & b=x. Dann a=b. Aus (ii) folgt (y=a oder y=b), und da a=b folgt also y=a=b. Also (a=x & b=y) sowie (a=y & b=x) wie Fälle 1 und 2.
    Fall 4. a=y & b=y. Analog gelten Fälle 1 und 2.
Darum gilt auf jeden Fall Fall 1 oder Fall 2, welches der Behauptung entspricht. QED.

Satz. für alle a,b,x,y gilt
{{a},{a,b}}={{x},{x,y}} ⟷ a=x und b=y.

Beweis.
(⟹.)
 Angenommen, {{a},{a,b}}={{x},{x,y}}. Aus Lemma 2 folgt:
                ({a}={x} & {a,b}={x,y}) oder ({a}={x,y} & {a,b}={x}).
Daraus ergibt sich folgende Fallunterscheidung:

    Fall 1. {a}={x} & {a,b}={x,y}.
               Aus Lemma 0 folgt a=x.
               Aus Lemma 2 folgt (a=x & b=y) oder (a=y & b=x).
               Fall 1.1. a=x & b=y. Gut!
               Fall 1.2. a=y & b=x. Dann b=x=a=y. Also gilt a=x & b=y. Gut!

    Fall 2. {a}={x,y} & {a,b}={x}.
               Aus Lemma 1 folgen x=y=a sowie a=b=x.
               Darum a=x und b=x=y. Gut!

Daher gilt auf jeden Fall a=x und b=y.


(⟸.) Angenommen a=x und b=y.
           Für alle z gilt laut Defn 1 und wegen a=x
               z∈{x} ⟷ z=x ⟷ z=a ⟷ z∈{x}.
           Also ∀z. z∈{x} ⟷ z∈{a}.
           Per das (Ext)-Axiom gilt also {x}={a}.

           Für alle z gilt laut Defn 2 und wegen a=x und b=y

                z∈{x,y} ⟷ z=x⋁z=y ⟷ z=a⋁z=b ⟷ z∈{a,b}.
           Also ∀z. z∈{x,y} ⟷ z∈{a,b}.
           Per das (Ext)-Axiom gilt also {x,y}={a,b}.

Für alle z gilt laut Defn 2 und wegen {x}={a} und {x,y}={a,b}
    z∈{{a},{a,b}} ⟷ z={a}⋁z={a,b} ⟷ z={x}⋁z={x,y} ⟷ z∈{{x},{x,y}}.
Also ∀z. z∈{{a},{a,b}} ⟷ z∈{{x},{x,y}}.
Per das (Ext)-Axiom gilt also {{a},{a,b}}={{x},{x,y}}.

QED.

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