Frage von Farsad88, 87

Habe eine frage zu Komplexe Zahlen?

Bestimmen sie alle komplexen Zahlen die folgende Gleichung lösen

z=(5+7i)^1/3

  1. 1,97+1,57i
  2. -1,97-1,57i
  3. 1,97+1,57i?

Habe als Polarwinkel 54,46° und |z|=74^1/2...

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von Physikus137, 38

Nein, so einfach ist es leider nicht. 😕

Du suchst eine Lösung für die Gleichung z³ = 5 + 7 i.

Das geht leider nicht ohne ein wenig Rechenarbeit.

Zunächst solltest du die Zahl in die Exponentialform bringen (r e^(iφ)).

r = √(5²+7²), φ = tan⁻¹(7/5)

dann sind die Lösungen:

z₁= ∛r e^(iφ/3)

z₂ = ∛r e^(iφ/3+2πi/3)

z₃ = ∛r e^(iφ/3+4πi/3)

Kommentar von Farsad88 ,

Muss ich es in die Exponentialform bringen? Gibt es keinen Ausweg? Das r steht für den Betrag?

Kommentar von Physikus137 ,

r steht für den Betrag, ja.

Es ist r e^(iφ) = r ( cos(φ) + i sin(φ) ), mit r und φ wie oben,

dann ist natürlich auch

z₁ = r cos(φ/3) + i r sin(φ/3)

z₂ = r cos(φ/3+2π/3) + i sin(φ/3+2π/3)

z₃ = r cos(φ/3+4π/3) + i sin(φ/3+4π/3)

Kommentar von Farsad88 ,

z(0)= abs^1/3 * (cos((arg/3)+0*(360/3)) +

          isin ((arg/3) + 0 *(360/3))) = 1,95 + 0,64i

z(1)= abs^1/3 * (cos((arg/3)+1*(360/3)) +

          isin ((arg/3)+ 1*(360/3))) = -1,95 - 0,64i

z(2)= abs^1/3 * (cos((arg/3)+2*(360/3)) +

          isin ((arg/3) + 2 *(360/3))) = 1,95 + 0,64i

z(1) und z(2) haben das selbe Ergebnis oder?

Kommentar von Physikus137 ,

Naja, fast.

Die Werte stimmen irgendwie noch nicht. (bis auf den ersten)

Ich seh aber grad den Fehler nicht.

http://m.wolframalpha.com/input/?i=z%5E3+%3D+5+%2B+7i&x=0&y=0

Kommentar von Farsad88 ,

z(0)= abs^1/3 * (cos((arg/3)+0*(360/3)) +

          isin ((arg/3) + 0 *(360/3))) = 1,95 + 0,64i

z(1)= abs^1/3 * (cos((arg/3)+1*(360/3)) +

          isin ((arg/3)+ 1*(360/3))) = -1,53 + 1,37i

z(2)= abs^1/3 * (cos((arg/3)+2*(360/3)) +

          isin ((arg/3) + 2 *(360/3))) = -0,42 - 2,01i

War ein Anwenderfehler du bist der BESTE :-)

Antwort
von YStoll, 39

54,46° = 54,46° + 360° = 54,46° + 720°

z=(5+7i)^1/3
==> z³ = 5+7i
==> arg(z) * 3 = arg(5+7i) und (abs(z))³=abs(5+7i)
arg ist das Argument (Polarwinkel), abs der Betrag.

Schaffst du es damit?

Kommentar von Farsad88 ,

Ne leider nicht :-( Ich schreibe mal meinen Gedankenweg rein vielleicht findet man den Fehler ja....

Um auf die Lösung zu kommen brauch man bei solchen Aufgaben 2 Sachen a) Betrag b) Polarwinkel

Betrag (abs) = (5^2+7^2)^1/2 = 74^1/2

Polarwinkel (arg) = phi = arccos (5/abs) = 54,46°

z(0)= abs^1/3 * (cos((arg/2)+0*(360/2)) +

          isin ((arg/2) + 0 *(360/2))) = 1,82 + 0,94i

z(1)= abs^1/3 * (cos((arg/2)+1*(360/2)) +

          isin ((arg/2) + 1*(360/2))) = -1,82 - 0,94i

z(2)= abs^1/3 * (cos((arg/2)+2*(360/2)) +

          isin ((arg/2) + 2 *(360/2))) = 1,82 + 0,94i

Diesen Rechenweg habe ich aus dem Internet. Muss mir das selber Aneigenen deshalb die Schwierigkeiten

Kommentar von YStoll ,

Du scheinst fieberhaft nach drei Lösungen zu suchen, obwohl du zweimal das Gleiche heraus hast.
Und das ist auch gut so.
denn z^n=a hat, bei gegebenem a nach z aufgelöst, immer n Lösungen, es seie denn a=0.
Normalerweise rechnet man bei komplexen Zahlen nicht mit einem Argument in Grad, sondern im Bogenmaß, 360° = 2Pi.
Aber um dich nicht noch mehr zu verwirren, bleibe ich für diese Aufgabe mal bei dem Gradmaß, hier macht das keinen erheblichen Unterschied.
Mit dem Lösungsweg aus dem Internet wirst du nicht weiter kommen, dieser ist wohl von der Berechnung einer Quadratwurzel.
Es ist wesentlich leichter alle drei Ergebnisse erst in Polarform zu berechnen und dann eine nach der anderen umzuwandeln.
Was ich dir mit meiner Antwort sagen wollte, war, dass für z(0), z(1) und z(2) gelten muss, dass abs(z(0)) = abs(z(1)) =abs(z(2)) = 74^(1/6)
Das kommt daher, dass abs(5+7i) = 74^(1/2) und abs(z)³=abs(5+7i).
Alle drei Ergebnisse müssen also schon mal den gleichen Betrag haben.
Außerdem muss das Argument jeden Ergebnisses wieder das Ausgangsargument (54,46°) ergeben. Wobei es keinen Unterschied macht, wenn man 360° (2Pi) dazuzählt. Du erhälst also das Argument von z(0) indem du 54,46° durch 3 teilst: 54,46°/3 = 18,153P3, das von z(1) indem du 54,46° + 360° durch 3 teilst : 414,46°/3 = 138,153P3, das von z(2) indem du 54,46° + 720° durch 3 teilst: 774,46°/3 = 258,153P3.
Was passiert jetzt, wenn du nochmal 360° dazuzählst?
54,46° + 1080° = 1134,46°
1134,46°/3 = 378,153P3 = 18,153P3 + 360° = 18,153P3
Du erhälst wieder dein erstes Ergebnis. Ab jetzt brauchst du also nicht weiter nach Lösungen zu suchen, es gibt genau diese drei.
Wenn du diese in die komplexe Zahlenebene zeichnest und die Punkte verbindest, erhälst du ein gleichseitiges Dreieck. Das ist so bei jeder dritten Wurzel einer komplexen Zahl. Bei einer vierten Wurzel ist es ein Quadrat usw.
Die Argumente der Ergebnisse von z^n=a mit gegebenem a!=0 (ungleich) sind also immer nur um 360°/n (2Pi/n) "verschoben".
Erst wenn du Argument und Betrag der einzelnen Lösungen bestimmt hast, solltest du dich an das Umformen machen. So machst du es dir selbst leichter und vermeidest Fehler.

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