Frage von Alleswasichweis, 79

Habe ein Problem bei dieser Aufgabe in Mathe?

Gegeben ist die Funktion y=(1/x-4)+1

Jetzt ist nach dem
Def.bereich , Polstelle ,Nullstelle gefragt

In der 2ten Teil Aufgabe ist nach einem Nachweis der lokalen Extrempunkte und nach dem Nachweis ob die Funktion gerade oder ungerade ist gefragt.

Hoffe mir kann es jemand verständlich erklären, ist eine Vorbereitung auf eine Lk.

Mit freundlichen Grüßen

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von Rowal, 19

1. Zum Definitionsbereich: Der Nenner darf nicht null werden, unter der Wurzel darf keine negative Zahl stehen. Hier kommt nur ein Nenner vor nämlich x-4. Und dieser ist nur bei x=4 gleich Null.

2. Zur Polstelle: Eine Polstelle kann nur vorliegen bei einzelnen nicht definierten Werten. Der Funktionswert wird beliebig groß bzw. bel. klein, wenn nur x nahe genug bei 4 liegt. Z.B. x=4+1/10^6 => y= 10^6+1; x=4 + 1/10^12=> y=10^12 +1 usw.  Wenn man sich von links der 4 nähert, wird y bel. klein.

3. Nullstelle: y=0 => 1/(x-4) = -1 ; x-4 = -1 ; x =3 .

4. Extremwerte: Es gilt f(x+h) <  f(x) , wenn x>4 und h>0 sowie wenn x <4 und h zwischen 0 und 4 liegt (ausschließlich). Das Schaubild ist eine Hyperbel mit 2 Ästen.

Kommentar von Rowal ,

Das sollte eigentlich ein Kommentar zu meiner Antwort sein.

Antwort
von petpat, 21

Möchte dir jetzt nicht die aufgabe komplett lösen, dann lernst ja nix aber ich hoffe das hilft:

Erster Tipp, versuch mal einen Graph zu dem Ding anzufertigen, damit du das vielleicht besser verstehen kannst:

Def. Bereich ist die ZahlenMenge (Also die Zahlen) die Du für Y einsetzen darfst.
Bsp: bei y = x^0,5 (= Wurzel(x)) darfst du keine negativen Zahlen einsetzen, weil ihr wahrsch. keine negativen Wurzeln zieht.
Damit wäre der Def.Bereich die Reellezahlen die Größer oder = 0 sind:
lR >= 0
Tip1: Deine Aufgabe umfasst ganz lR bis auf eine Zahl* die du dann  so rausschreibst: lR / *   (das "/" bedeutet ohne)
Tip2: Wenn etwas gegen unendlich läuft ist dies auch eine Def lücke.

Polstellen sind die stellen, an denen eine Funktion gegen Unendlich strebt.

Nullstellen findest heraus indem du y=0 setzt, also 0=(1/x-4)+1
und dann nach x auflöst.
Sollte dies keine Lösung haben, so gibt es keine Nullstelle.
Deine Funktion hat eine!
aber wäre es nur y=1/x hätte es keine, da 1/x=0 würde auf unendlich hinauslaufen

2ter Teil:
lokale Extrempunkte sind punkte an denen die Funktion maximal oder minimal wird (gegebenenfalls auch sattelpunkte)
Funktion ableiten und Nullstellen suchen ( y'=0 )
hat es keine gibts keine solche punkte
Hat es nullstellennimmst Zahlen zwischen den Nullstellen bzw. deren Ränder
Beispiel:
hättest die Nullstellen: -1; 1 und 2
dann setzt
-2; 0 ; 1,5 ; 3 an, weil sie wie hier gezeigt dazwischen liegen:
-2| -1 | 0 | 1 | 1,5 | 2 | 3
von den ergebnissen der 1ten Abl. schaust dir nur die vorzeichen der ergebnisse an. Dann hast du z.B.:
x'' -2;  0 ; 1,5 ; 3
y''  +   -     +    +
von + nach - bedeutet Hochpunkt
von - nach + ist ein Tiefpunkt
+ nach + bzw. - nach - ist ein sattelpunkt

Gerade Funktionen sind Funktionen die du auf der y Achse spiegeln kannst und gleich aussehen, z.B. x²
ungerade wären die, die du 2 mal spiegelst in dem sinne. einmal an der y und einmal an der x achse spiegeln. (nennt sich Punktsymetrisch)
Dazu schaue dir mal als bsp: x³ an
um das rauszufinden setzte einmal f(x) = f(-x).
-> (1/x-4)+1=(1/   ( - x )   -4)+1
Wenn diese gleichung aufgeht, ist die Funktion "gerade" , bzw. Achsensymetrisch.
Und wenn das erste stimmt brauchst die andere nicht zu machen, da in der einfachen Mathematik nur die Funktion y=0 beides erfüllt.
stimmt das erste also nicht, probiere aus, ob sie ungerade ist:
-f(x)=f(-x)
 - ( (1/x-4)+1 )=(1/    ( - x )   -4)+1
sollte diese gleichung aufgehen ist sie ungerade.
(welches du zuerst testest ist dir überlassen)

ich hoffe ich konnte helfen oO

Kommentar von Alleswasichweis ,

Danke für die sehr ausführliche Hilfe 1000faches Dankeschön 👍

Kommentar von petpat ,

Ist schon lange her, dass ich das machen musste, kann sein, das beim sattelpunkt noch n kleiner fehler ist... ich erinnere mich an irgendwas mit der 2ten ableitung aber da hab ich aus dem Stehgreif grad keine Ahnung xD

Kommentar von petpat ,

habs mit dem Sattelpunkt nochmal nachgelsen, du musst da zeigen, dass an der jeweiligen Stelle:
f'(x) = 0
f''(x) = 0
f'''(x) ungleich 0

Kommentar von petpat ,

Kleine Ergänzung:
Zu den extremwerten kannst auch anstatt das mit den Werten
neben den nullstelllen der ersten ableitung zu machen, auch die Nullstellen der ersten ableitung in die 2te einsetzen.
wenn dort positives rauskommt, ists n hochpunkt
negativ tiefpunkt
0 Sattelpunkt xD
ist vllt. einfacher!

Kommentar von Alleswasichweis ,

Thx

Antwort
von Rowal, 27

Der maximale Definitionsbereich sind aller reelen Zahlen außer x=4. Dort liegt eine Polstelle vor. Die einzige Nullstelle liegt bei x=3 vor. Einen lokalen Extrempunkt hat die Funktion nicht, da sie überall fallend ist.


Kommentar von Alleswasichweis ,

Woher weiß ich das in einer Arbeit?

😅

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