Frage von DarkGuardian, 69

Hab ich das richtig integriert?

Ich brauche ein Integral, nämlich das von 2/x^2. Ich komme da auf 2*ln |x^2|. Stimmt das?

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von kepfIe, 57

Nein. Kann man ganz einfach mit Potenzregel integrieren.

Kommentar von DarkGuardian ,

Also, einfach 2/x?

Kommentar von kepfIe ,

-2/x

Expertenantwort
von Rhenane, Community-Experte für Mathematik, 36

2/x² kannst Du umschreiben in 2*x^(-2), dann mit der "Standardregel" integrieren.
Hast Du ../x(^1) musst Du mit dem ln "hantieren", da bei x^(-1) integriert x^(-1+1)=x^0=1 rauskommen würde, was nicht sein kann.

Antwort
von okarin, 45

2/x^2
y=x^2
(2/x^2)' = (2*(1/y))' = 2 * ln |y| * (1/y')
= (1/x) * ln |x^2|

Kommentar von Willy1729 ,

Sollte man meinen, stimmt aber nicht.
Die Stammfunktion zu 2/x² lautet -2/x+C

Herzliche Grüße,

Willy

Kommentar von okarin ,

Oh stimmt hast recht hab das schon wieder verlernt 😂😂. Aber warum komm ich eigentlich auf n anderes Ergebnis ich sollte ja auf das gleiche kommen sonst stimmt irgendwas an der Substitution nich?

Kommentar von Willy1729 ,

Weißt Du was? Das frage ich mich auch. Wenn ich substituiere, komme ich nämlich auf das gleiche Ergebnis wie Du - aber es ist gleichwohl falsch. Substitution klappt aber auch nicht immer. Die beste Probe ist immer, die Stammfunktion abzuleiten. Wenn sie die richtige ist, muß man dann wieder auf die ursprüngliche Funktion kommen.

Herzliche Grüße,

Willy

Kommentar von PWolff ,

I := ∫ 2 / x² dx

Substitution: y = x² => x = √y
=> dx / dy = 1 / (2 √y)

=> I = ∫ 2 / y * 1 / (2 √y) dy
       = ∫ 1 / √y³ dy
       = ∫ y^(-3/2) dy

Damit ist nichts gewonnen.

Wenn man versucht, so zu substituieren, dass 1/y unter dem Integral übrigbleibt:

Ansatz: y = x^(1/r)   (r reell)

=> x = y^r

=> dx/dy = r y^(r-1)

=> I = ∫ 2 / y^(2 r) * r y^(r-1) dy
       = ∫ 2 y^(-2 r + r - 1) dy
       = ∫ 2 y^(-r -1) dy
       = ∫ 2 / (y^(r+1)) dy

Damit der Nenner y^(r+1) gerade y wird, muss r = 0 werden.

Damit ist aber die Substitution y = x^(1/r) = x^(1/0) nicht mehr durchführbar.

Wir kommen also durch keine Substitution durch eine Potenz auf einen Logarithmus. Es gibt (wesentlich) kompliziertere Substitutionen, aber die lassen sich zu dem üblichen Term vereinfachen.

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