Frage von Lauraaa104, 85

Wie forme ich für eine Ableitung (x^4-2x^3+1)/x^2 in x^2-2x+x^-2 um?

Hey :D

Ich weiß, in einer Freitagnacht sollte ich eigentlich was besseres zu tun haben als Mathe zu lernen^^, aber da ich demnächst eine wichtige Arbeit schreibe (und noch nicht früher angefangen hab) lerne ich halt jetzt :D Und zwar handelt es sich um das Thema Ableitungen. Ich hab jetzt die Aufgabe (x^4-2x^3+1)/x^2 und soll das ableiten. Also muss ich es davor umschreiben, aber ich weiß nicht wie. :/ Laut Lösungen soll da umgeschrieben x^2-2x+x^-2 rauskommen. Hä? :D Soll ich das jetzt ausmultiplizieren oder wie? Also den Nenner? Bzw. würde das dann überhaupt gehen wegen dem +1 hinten? Ableiten kann ich ja gut aber dieses umschreiben, vor allem bei brüchen, hilfe :D Wäre gut wenn mir jemand auf die sprünge helfen kann :) ich brauch auch keinen ganzen Rechenweg (damit mir jetzt nicht vorgeworfen wird, dass ich nur zu faul bin meine Hausaufgaben zu machen, ne :D).

Dankeee schonmal <3 :)

Lg, Laura :)

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von wolfgang9999, 43

Die Lösung ist FALSCH!

Brüche auflösen ist ja einfach:

(x^4-2x^3+1)/x^2 = x^4/x^2 -2x^3/x^2 +1/x^2 = x^2-2x+1/x^2

-> 1/x^2 = x^-2

Ableiten (d.h. differenzieren (hier nach x vermutlich))) ergibt dann:

2x-2-2x^-3

Nachweis durch Wolframalpha

http://www.wolframalpha.com/input/?i=derive+%28x^4-2x^3%2B1%29%2Fx^2

zeigt, dass ich Recht habe;-)

Hoffentlich hilfts und viel Erfolg bei Deiner Klausur!

Kommentar von theantagonist18 ,

Was soll denn da falsch sein? Du weißt schon, dass da nur steht, die Lösung der UMFORMUNG und nicht gleich der Ableitung. 

Kommentar von wolfgang9999 ,

Achso ... die Formulierung fand ich etwas uneindeutig:

"Ich hab jetzt die Aufgabe (x^4-2x^3+1)/x^2 und soll das ableiten" und "Laut Lösungen soll da umgeschrieben x^2-2x+x^-2" -> das wäre dann ja nur ein Zwischenschritt der Lösung (nämlich das Umformen, was ja trivial ist).

Und ja, man kann das auch mit Quotentenregel ableiten. Die finde ich aber richtig eklig. Lieber Quick & Dirty.

Kommentar von MeRoXas ,

Die Lösung ist nicht falsch. 
Lauraaa104 schrieb, dass der Bruch umgeschrieben eben x²-2x+x^-2 ist, nicht dass das die Ableitung sein.

Kurze Rückfrage: Könnte man hier auch mit der Kettenregel arbeiten? Da wäre nämlich mein Ansatz gewesen.

(x^4-2x^3+1)/x²=(x^4-2x^3+1)^-2

Das dann nach Kettenregel ableiten.

Wolframalpha spuckt dann aber das hier aus: 

http://www.wolframalpha.com/input/?i=derive+%28x%5E4-2x%5E3%2B1%29%5E-2

Weißt du, wo der Fehler liegt?

Kommentar von Schachpapa ,

(x^4-2x^3+1)/x² ist nicht (x^4-2x^3+1)^-2

sondern allenfalls

(x^4-2x^3+1) * x^-2

Dann könntest du evtl. nach der Produktregel, vorher vereinfachen ist aber einfcher als hinterher.

Kommentar von MeRoXas ,

Ja, das war's, danke.

Ist wohl etwas spät, ich geh dann mal schlafen, solche Fehler sind peinlich.

Kommentar von Lauraaa104 ,

Ohh danke :) So hab ichs dann auch verstanden :)

Also brauch ich gar nicht zwingend die Polynomdivision?

Kommentar von IdiotvonNatur ,

Nein, die brauchst du nicht, da sich die Ableitung auch so berechnen lässt. (Bsp.: Quotientenregel)

Da deine Frage aber war, wie du den Bruch umschreiben kannst, wäre die Polynomdivision die einfachste und richtige Herangehensweise zur Beantwortung deiner Frage.

Expertenantwort
von fjf100, Community-Experte für Mathe, 9

1.Möglichkeit : 1/x^2 ausmultiplizierne und die x^2 kürzen

(x^4-2 *x^3 +1) * 1/x^2=x^4/x^2 - 2 *x^3/x^2 + 1/x^2=x^2 - 2 *x +!/x^2

mit 1/x^2=x^-2 siehe Mathe-Formelbuch Potenzregeln u. Summenregel

abgeleitet y´=f´(x)=2 *x-2 *x^(-3) - 2

2.möglichkeit nach der Quotientenregel ,sieh Mathe-Formelbuch "Differentationsregeln"

y´=f´(x)= (u´ *v - u * v`) / v^2

mit u=x^4 - 2 *x^3 + 1 und v=x^2 dies führt zum selben Ergebnis

HINWEIS :Hier braucht man nicht die "Quotientenregel" anwenden,weil man,wie man sieht,x^2 ausmultiplizieren und kürzen kann.

Dies ist aber nicht bei jeder Aufgabe so !!

Kommentar von Lauraaa104 ,

dankeschön!! :))

Antwort
von theantagonist18, 49

Du musst einfach nur die Funktion im Zähler durch das im Nenner teilen. Also im Prinzip den Bruch ausrechnen.So z.B. x^4 geteilt durch x^2 = x^2 usw.

Kommentar von Lauraaa104 ,

Ja, hab's jetzt verstanden, dankeschön! :)

Antwort
von Kesselwagen, 25

Nabend Laura,

das "Umschreiben" geschieht über die Polynomdivision, indem Du x^4-2x^3+1 geteilt durch x^2 rechnest. Hattest Du das schon im Unterricht gehabt?

Rauskommen tut dann x^2 - 2x + 1/x^2 welches umgeschrieben x^2 - 2x + x^(-2) lautet.

Du kannst das ganze auch ohne Polynomdivision direkt mit der Quotientenregel ableiten. Musst dann halt ziemlich viel Umformen, funktioniert aber auch. Durch der Polynomdivision zerlegst Du den ganzen Bruch, bevor Du ableitest, in drei einfache Summanden die Du leicht einzeln ableiten kannst, ohne Quotientenregel!

--

Hoffe, dass ich Dir helfen konnte :-)

LG. Kesselwagen

Kommentar von Lauraaa104 ,

Ja, das hatten wir letztes Jahr gehabt. Da muss ich meine Kenntnisse noch ein wenig auffrischen.^^

Danke für die Antwort! :)

Antwort
von IdiotvonNatur, 31

Hi Laura, dein Problem ist mit einer einfachen Polynomdivision gelöst.

Kommentar von Lauraaa104 ,

Ohje :D Muss ich mir dann nochmal anschauen wie das geht. ^^ Dankeschön :)

Kommentar von IdiotvonNatur ,

Es ist eigentlich ziemlich einfach: Du hast zwei Polynome, nennen wir sie a und b. (Versuche dir einfach vorzustellen, dass a und b eben die Summen aus Produkten von Koeffizienten und deiner Veriable x mit einem Exponenten sind. Oke ich schweife ab. :D)

Teilst du a druch b, dann gehst du so vor, wie der Division mit Rest, die du in der Grundschule kennengelernt hast, nur ein klein bisschen anders:

Du nimmst den ersten Summanden aus a und teilst ihn durch den ersten Summanden aus b. Das Ergebnis schreibst du auf.

Nun subtrahierst du: a-b*y (wobei y das augeschriebene Ergebnis ist).

Das wiederholst du, bis du als Rest 0 hast. Wenn du keine 0 als Rest herausbekommst, sondern ein Polynom, das sich nicht durch b teilen lässt, schreibst du diesen Rest einfach genau so auf: Restpolynom geteilt durch b (als letzter Summand des Ergebnisses).

In deinem Beispiel ist es einfacher, weil b aus nur einem Summanden besteht:

(x^4-2x³+1)/(x²)=

x^4 / x² = x²

(x^4-2x³+1)/(x²)=x²

(x^4-2x³+1)-(x² * x²)=(-2x³+1)

(-2x³+1)/(x²)=

(-2x³) / x² = -2x

(-2x³+1)/(x²)=-2x     bzw.    (x^4-2x³+1)/(x²)=x²-2x

(-2x³+1)-(-2x)x² = 1/(x²) = x^(-2)

(x^4-2x³+1)/(x²)=x²-2x+x^(-2)

Kommentar von Lauraaa104 ,

Ach stimmt, da kommen wieder einige Erinnerungen hoch. :D Dankeschön :)

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