Frage von marvinbz, 40

Guten Tag liebe (Mathe-) Community, kann mir jemand helfen die Gleichung ln(2x+1) + ln(x-1) nach x aufzulösen?

Nach dem Schritt ln(2x^2 -x -1) komme ich nicht weiter. Stehe echt auf dem Schlauch.

Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Mathematik, 9

Das ist nur ein Term und keine Gleichung. Wenn wir aber mal auf der rechten Seite 0 unterstellen:   

http://dieter-online.de.tl/Logarithmus.htm


ln(2x+1) + ln(x-1) =  0    |  1. Potensgesetz
ln ((2x+1)(x-1))    =   0   |   in e umwandeln (das ist die Basis)     
              
e^0     =  (2x+1)(x-1)
    1     =  2x² - x - 1        |  -1  
    0     =  2x² - x - 2        |  /2
    0     =    x² - 0,5x - 1                 p = -0,5        q = -1
x1,2    =   0,25 +- √(0,0625 + 1)
x1,2    =   0,25 +- √1,0625

Und das kann man ausrechnen.

x1 ≈ 1,28078 (das ist der positive Wert)

Ich hoffe, dass sich kein Rechenfehler eingeschlichen hat, aber es geht ja ums Prinzip.


Kommentar von marvinbz ,

ja vielen dank. nur was ich daran nicht verstehe, warum wir die nullstellen berechnen. ich möchte ja x ausrechnen und nicht die nullstellen

Kommentar von Volens ,

Eine quadratische Gleichung zu berechnen, das ist am bequemsten, wenn man sie in eine Form bringt, die der Berechnung von Nullstellen entspricht. Das habe ich oben getan, nachdem ich erst den Logarithmus in eine Potenzform überführt habe.

Diese quadratische Gleichung musste aber erst noch normiert werden, denn bei der p,q-Formel darf vor x² nichts stehen, also habe ich durch 2 dividiert.

Eine Eigenheit aller quadratischen Gleichungen ist, dass die Nullstellen immer dieselben sind, wenn die ganze Gleichung durch einen Faktor multipliziert/dividiert wird. Diese Nullstellen sind dann die Lösungen, aber bei Logarithmusgleichungen nur die positiven, hier also eine, zufällig meine. Ich habe nochmal die Probe gemacht.

Antwort
von Kaenguruh, 15

ln (2x+1) = - ln(x-1) = ln (1/(x-1)) II e^

2x+1 = 1/(x-1) II * (x-1)

(2x+1) (x-1)  = 1

2x² -2x + x - 1 = 1

2x² - x = -2=0 II /2

x² - 0,5x  -1 =0 Nach pq-Formel lösen

X12 = 0,25 +- Wurzel (0,25² +1)

Expertenantwort
von Ellejolka, Community-Experte für Mathematik, 25

was steht denn auf der anderen Seite der Gleichung?

Kommentar von marvinbz ,

sorry vergesse. das ist = 0

Kommentar von Ellejolka ,

ln(2x²-x-1) = 0

2x²-x-1 = e^0

2x²-x-1=1

2x²-x-2=0

x²-0,5x-1=0

pq-formel

denke ich

Antwort
von eddiefox, 8

Bin von der falschen Gleichung ausgegangen.
Gelöscht.

Gruss

Antwort
von NinoP, 10

Du musst nicht unbedingt nach x auflösen, sondern du kannst auch mit dem Wissen an die Aufgabe gehen, dass der ln(1)=0 ist. Das ist allgemein bekannt.

Nun schaust du einfach, wann 2x^2-x-1 gleich 1 ist, wobei du dabei auch die funktion um einen nach oben verschieben kannst. Also 2x^2-x=0, dann weißt du, wann die funktion 1 ist anstatt 0, wenn du nun die Nullstellen ausrechnest

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