Frage von ProMaNu, 92

Guten Feiertag :) ich bin derzeit an Mathe dran allerdings komme ich bei Folgender Aufgabe garnicht zurecht (Anhang Bild) könnte mir mal jemand den Ans..?

erklären damit ich diese Aufgabe verstehe... haben bisher Integrale berechnet zwischen kurven und so weiter, diese integriert mithilfe von partieller, partiralbruch und subsitution...

bin um jede hilfe Dankbar!!

Antwort
von Wechselfreund, 28

Zum Nachweis der oberen Formel (Wurzel x)² = x in die Wurzel ziehen. Dann ergibt sich Wurzel aus (x+1/4), also (x+1/4)^1/2.

Für Stammfunktion Exponent um 1 erhöhen -> x^3/2. Den Faktor davor, der beim Ableiten entsteht (die innere Ableitung ist netterweise 1, Substitution nicht nötig) mit Kehrwert töten.

Stammfunktion 2/3 ·(x + 1/4)^3/2

Kommentar von ralphdieter ,

Du Fiesling! "Schnell mal im Kopf ableiten, quadrieren, einsetzen und umformen und dann substituieren und integrieren — fertig!"

Du könntest noch dazu schreiben: "Mit √13≅3,6 sieht man ganz leicht und ohne Taschenrechner: M≅3,888".

Hast ja recht, aber ich vermute, dass das manche Zeitgenossen etwas frustriert.

Kommentar von ralphdieter ,

Ups, ich habe vergessen, M(0)=1/12 abzuziehen. Bleibt also ca. M≅3,8.

Bei so einfachen Aufgaben passieren eben schon mal Leichtsinnsfehler :-)

Kommentar von Wechselfreund ,

Hab doch alle Schritte angegeben?! Einsetzen in die gefundene Stammfunktion dürfte doch machbar sein?! Substitution finde ich unnötig kompliziert. Stattdessen: Was nicht passt wird passend gemacht...

Antwort
von ralphdieter, 23

Die erste Gleichung ist die Formel für die Mantelfläche. Sie steht nur da, weil sich manche Leute so simples Zeug nicht merken können :)

Setze dort einfach die gegebene Funktion f ein und forme um. Wenn Du genug gewurstelt hast, bleibt ein Integral, das so aussieht wie die zweiten Formel. Brave Schüler schreiben nun 𝛼=1, 𝛽=1/4 dazu — das freut den Lehrer.

Jetzt kannst Du mit billiger linearer Substitution integrieren und M bestimmen.

Kommentar von Belus911 ,

Danke für deine Antwort!

Aber muss ich nicht f´(x) einsetzen?

Berechnung für  f´(x)

f(x) = 2*Wurzel(x)                | Wurzel zu x^(1/2) umschreiben und dann mal 2 multiplizieren welches x ergibt, richtig?

f´(x) = x

nun setze ich x i ndie Stammfunktion ein und schreibe diese zu (1+x)^(1/2) um und bilde die Stammfunktion 2/3 ·(x + 1/2)^3/2.

so nun meine zwei Fragen: du und Wechselfreund haben jeweils 1/4 als Faktor, aber warum?

Und wie kann man hier linearer Substitution integrieren? Bisher habe ich die Substitution nur bentuzt wenn im Bruch im Zähler die Ableitung vom Nenner steht und diese dann über du/dx = u´ gelöst!

Vielen Vielen Dank!

Kommentar von ralphdieter ,

Die Ableitung von √x ist 1/(2√x) (Potenz als Faktor davor, dann um 1 verringern: 1/2-1=-1/2). Also:

    f´(x) = 1/√x

Offenbar haben Wurzelfreund und ich hier den Faktor 2 in f übersehen. Das führte zum falschen Wert 𝛽=1/4.

Korrekt eingesetzt brauchst Du die Stammfunktion von:

    (2√x)·√(1+1/x) = 2·√(x+1)

Nun zur linearen Substitution: Kennst Du eine Stammfunktion von √x (z.B. 2/3·x^(3/2)), dann kennst Du auch eine von √(𝛼x+𝛽):

    1/𝛼·2/3·(𝛼x+𝛽)^(3/2)

Substitution ist eigentlich eine knifflige Sache, aber im linearen Fall u(x)=𝛼x+𝛽 ist alles viel einfacher, weil u´ nur eine Konstante ist. Und wenn — wie hier — 𝛼=1 ist, darf man quasi "einfach so" integrieren. Trivial ist das aber nicht; deshalb ist es ratsam, bei solchen Umformungen "lineare Substitution" zu erwähnen. Das heißt dann so viel wie "ich weiß, was hier ich tue".

Zur Kontrolle:

  M(x) = 4/3·(x+1)^3/2

  M = M(3)-M(0) = 28/3

P.S.: f ist in 0 nicht differenzierbar (Steigung -∞). Physiker und Ingenieure stehen da mutig drüber, aber ein Mathematiker sagt bei M(0) aua! Er muss erst mal zeigen, dass das uneigentliche Integral existiert...

Kommentar von Belus911 ,

so ich bins nochmal, erstmal vielen Dank für deinen Ausführlichen Lösungsvorschlag!

ich hätte dennoch eine Frage und zwar:

f`(x) = 1/√x ist das selbe wie x^(-1/2) dies habe ich ebenfalls.Aber wie kommt man von x^(-1/2) auf die Werte von a und ß?

Kommentar von ralphdieter ,

f`(x) = 1/√x ist das selbe wie x^(-1/2)

Ja.

wie kommt man [...] auf die Werte von a und ß?

Nach Einsetzen von f und f' in die Formel für M vereinfacht sie sich zu:

    M = 2π ∫ 2·√(x+1) dx

Die Hilfestellung in der Aufgabe sagt, dass etwas in der Form

    M = 2π ∫ √(𝛼x+𝛽) dx

dastehen sollte. Wenn man die 2 vor der Wurzel ignoriert, braucht man nur noch die Koeffizienten von "x+1" mit "𝛼x+𝛽" vergleichen: 𝛼=1, 𝛽=1.

Der konstante Faktor 2 vor der Wurzel ist sicher das allerkleinste Problem beim Integrieren. Will man aber genau nach Anleitung vorgehen, muss man zuerst diese 2 als √4 unter die Wurzel ziehen:

    M = 2π ∫ √(4x+4) dx

Jetzt ergibt sich 𝛼=4, 𝛽=4, und beim Integrieren taucht der Faktor dx/du=1/𝛼=1/4 auf. Aber nach Vereinfachung kommt man natürlich wieder zum selben Ergebnis. Ich glaube nicht, dass dieser Umweg im Sinne des Aufgabenstellers war.

Ich habe jetzt nochmal kontrolliert, ob unser Faktor 2 von einem Fehler beim Ableiten oder Einsetzen kommt — negativ. Trotzdem wäre es gut, wenn das mal jemand nachrechnet. Immerhin habe ich auch bei meinem Kontrollwert M=28/3 den Faktor 2π (vor dem Integral) vergessen. Nobody is perfect :-(

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