Frage von lenaeinicke, 78

Größtmögliches Volumen gefragt - Mathematik?

Hallo,

ich habe eine wichtige Frage zu Mathe. Ich bin sehr mathematikbegeistert, sodass es nicht gerade selten vorkommt, dass ich mich in meiner Freizeit unabhängig vom Unterricht mit dem Fach auseinandersetze.

Da kommt es schon einmal dazu, dass ich verzweifelt werde, weil wir das Thema noch nicht im Unterricht dran hatten. Deswegen bitte ich Euch nun um Hilfe.

Es geht hauptsächlich um Funktionsuntersuchungen (Länge, Breite, Volumen..). Die Fragestellung ist eine Art Analyse, die es sich zur Aufgabe gemacht hat, herauszufinden, WIE die Anzahl an Kinogästen vom Preis der Kinokarte abhängt.

Angegeben ist, dass derzeit im Durchschnitt 150 Kinobesucher das Cinema bei einem Ticketpreis von durchschnittlichen 12 Euro besuchen.

Die Studie kommt anschließend zu dem Ergebnis, dass bei einem Rabatt des Kino Tickets von 50 Cent im Durchschnitt 20 Zuschauer mehr im Kinosaal zu erwarten wären.

Zuletzt wird gefragt, welcher Kartenpreis aus der Sicht des Betreibers am optimalsten wäre. Dabei soll auch die durchschnittliche Anzahl an Zuschauer genannt werden, die eine solche Kinovorstellung besuchen würden.

Mir ist bekannt, dass die Formel zur Berechnung des Volumens v= l x b x h lautet. Ich hätte den Verdacht, dass hierbei das größtmögliche Volumen, also die volle Besetzung des Kinosaals auszurechnen ist.

Nun komme ich allerdings nicht weiter. Könnt ihr mir hierbei mittels einer geeigneten Rechnung zur einer sinnvollen Lösung kommen? Eine kleine Skizze könnte mir möglicherweise auch sehr helfen. Viele Grüße

Antwort
von ralphdieter, 7

Gegeben:

  • Zuschauer := 150 + r·20
  • Preis := 12 - r·0.5

Zu optimieren sind vermutlich die

  • Einnahmen := Zuschauer · Preis.

Der "normale" Weg geht so: Formuliere die Einnahmen als Funktion von r und bestimme deren Maximum.

Das Schaubild dazu zeigt eine nach unten geöffnete Parabel. Deren Scheitelpunkt ist dann erste Wahl, sofern er im erlaubten Bereich liegt (Mindestpreis, Saalgröße, Ganzzahligkeit, ...). Sonst musst Du auch die Werte an den Randpunkten berechnen.

Mit einer Volumenberechnung hat das allerdings wenig zu tun; eher mit einer Rechtecksfläche: In einem Koordinatensystem über den Zuschauern vs. Ticketpreis ist deine Bedingung eine Gerade g. Gesucht ist ein Rechteck mit den Eckpunkten (0, 0) und (x, g(x)) und größtmöglichem Flächeninhalt. Graphisch mag das zwar anschaulich sein, aber zum Berechnen würde ich immer den oben beschriebenen Weg wählen.

Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Mathe, Mathematik, Schule, 14

Du bist ja wohl noch in der Mittelstufe.
Wenn du es schaffst, deiner Funktion (x=Rabatt, f(x)=Besucherquote) eine quadratische Form zu geben, kannst du mit der quadratischen Ergänzung den Scheitelpunkt feststellen. Das ist das Maximum, aber nur, wenn der erste Term mit auch ein Minus vor sich hat.

Ansonsten musst du mit deiner Recherei doch warten, bis ihr die Ableitung in der Schule haben werdet. Man kann dir kein so fundamentales Gebiet der Mathematik in einem Thread deutlich machen. Dann brauchten andere ja nicht Wochen, um sich die Zähne daran auszubeißen.

Für Volumina bräuchtest du Funktionen dritten Grades. Da klappt es dann nicht mehr mit der quadratischen Ergänzung.

Kommentar von lenaeinicke ,

Oh ja! Ich habe von der Ableitung schon sehr oft gehört, aber privat. Kannst du mir denn eine solche Gleichung anstellen? Das wäre sehr spannend, danke dir. 

Antwort
von Alababa198, 42

Du stellst deine Funktion auf, die die Kinobesucher in Abhängigkeit von dem gegeben Rabatt darstellt. Dann bildest du die Ableitung und setzt diese gleich null. Diese Nullstelle/n setzt du in die zweite Ableitung. Erhältst du dann ein negatives Ergebnis so erhältst du das Maximum an Zuschauern, wenn du x€ Rabatt gewährst.

Kommentar von lenaeinicke ,

Danke für Deine Antwort. Ich bin nur leider noch immer ratlos. Kannst du dies vielleicht an einer Rechnung verdeutlichen? Grüße 

Kommentar von thomsue ,

Je niedriger der Preis um so mehr Besucher - bis zu einem gewissen Punkt: der ist theoretisch durch die Größe des Kinos begrenzt. Praktisch auch durch den Film.

Kommentar von thomsue ,

... also praktisch durch die Größe 😂

Kommentar von thomsue ,

@Alababa198 Das Problem ist jetzt die Funktion 🤔 sonst 👍

Antwort
von Alababa198, 37

Ich verstehe nicht was du mit Volumen meinst. Dein Funktionswert ist doch die Anzahl der Zuschauer

Kommentar von Volens ,

Der Besuchsverlauf kann durchaus quadratisch oder kubisch sein. Es geht nicht um das Volumen der Besucher, sondern um die Funktion, die sich aus ihrem Besuchsverhalten ermitteln lässt.

Antwort
von Joochen, 21

Das Ergebnis dürfte kaum davon abhängen, wie das Verhältnis l:b:h ist.

Kommentar von lenaeinicke ,

Wie würdest du denn die Aufgabe lösen wollen? 

Antwort
von iokii, 36

Wie kommst du denn auf Volumen?

Kommentar von lenaeinicke ,

Naja, das habe ich ja bereits angedeutet. Hier wird wohl nach der größtmöglichen Zahl des Kinosaals gefragt. Wie würdest du diese Aufgabe lösen wollen? 

Kommentar von Volens ,

Denk mal dran, wie Kostenkurven aussehen. Es sind meist Funktionen 3. Grades, damit die SchülerInnen etwas mehr zu rechnen haben. Der FS hat es sicher nicht so gemeint, aber faktisch ist es dann doch so.

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