Frage von vielfoto1, 45

Grenzwertuntersuchung an dieser Funktion?

2x^3+4x/3x^3+6x+1

Ich habe es so erstmal gemacht:

lim x^3(2+4/x^3)/x^3(3+6/x^3+1/x)

Und wie verhält es sich im Unendlichen?

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathe, 9

Hallo,

kann es sein, daß Du die Klammern vergessen hast?

f(x)=(2x³+4x)/(3x³+6x+1)

Für x gegen unendlich ist die einfachste Methode, den Grenzwert zu ermitteln, bei solchen Funktionen, einfach nur die Variablen mit der höchsten Potenz zu betrachten und deren Vorfaktoren als Grenzwert zu nehmen.

Im Zähler ist 2x³ die höchste Potenz, im Nenner 3x³.

Der Grenzwert für x gegen unendlich ist also 2/3

Du kannst auch Zähler und Nenner jeweils durch x³ teilen, dann isehst Du es auch:

(2+4/x²)/(3+6/x²+1/x³)

Der Zähler geht gegen 2, weil 4/x² gegen Null geht, der Nenner geht gegen 3, weil 6/x²+1/x³ gegen Null geht. So bleibt 2/3 als Grenzwert.

Herzliche Grüße,

Willy

Expertenantwort
von everysingleday1, Community-Experte für Mathe, 5

Wir betrachten gebrochenrationale Funktionen der Form

f(x) = p(x) / q(x),

wobei p und q Polynome sind,

Untersucht man das Verhalten dieser Funktionen für x gegen minus / plus unendlich, dann kann man folgendermaßen vorgehen.

Wenn der Grad von p kleiner als der Grad von q ist, also Zählergrad < Nennergrad, dann gilt: f(x) strebt gegen 0 für x gegen +/- unendlich.

Wenn der Grad von p gleich dem Grad von q ist, also Zählergrad = Nennergrad, dann gilt: f(x) strebt gegen den Quotienten der Koeffizienten vor den x-Potenzen des Grades der beiden Polynome, also so wie in deinem Beispiel:

Zählergrad = 3 und Nennergrad = 3, dann erhält man als Quotient der Koeffizienten: 2 / 3

Folglich gilt dann für f(x) = (2x³+4x) / (3x³+6x+1): lim{+-inf} f(x) = 2/3.

Expertenantwort
von Willibergi, Community-Experte für Mathe, 7

Du meinst offensichtlich den Ausdruck im Bild anbei.

Du hast schon richtig faktorisierst, sodass sich die beiden x³ rauskürzen.

Jetzt schaust du dir die einzelnen Summanden an:

4/x² (!) wird null.

6/x³ wird null.

1/x wird null.

Also bleibt übrig: 2/3.

Somit existiert ein spezifischer Grenzwert für x -> +∞ und zwar 2/3. ;)

Ich hoffe, ich konnte dir helfen; wenn du noch Fragen hast, kommentiere einfach. 

LG Willibergi 

Kommentar von Willibergi ,

Vor dem zweiten Gleichungsglied muss selbstverständlich auch noch der Limes stehen. ^^

LG Willibergi 

Antwort
von Psychologie5Sem, 13

Du musst dir den Graphen hinzeichnen oder du denkst über ihn nach.

Man sieht gleich von Anfang an, wo der Graph nicht hin kann, da es ein X im Nenner gibt. 

Geb dir etwas Mühe.

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