Frage von Asmodian, 38

Grenzwertbestimmung von 3/pi^n als Reihe?

Hallöchen liebe community,

wie kann ich den Ausdruck "Sigma von n=1 bis unendlich" von 3/pi^n so vereinfachen, dass ich den Grenzwert bestimmen kann? Mir fällt irgendwie nichts ein.

Mit freundlichen Grüßen
Asmodian

Antwort
von PeterKremsner, 29

Ein kleiner Tipp Forme es ein bisschen um:

Sigma von n=1 bis unendlich" von 3/pi^n = 

3* Sigma von n=1 bis unendlich von (1/pi)^n

und dann suche mal im Internet oder in deinem Skriptum den Begriff geometrische Reihe.

Kommentar von Asmodian ,

Dein tipp hat mir sehr geholfen doch es gibt noch eine unklarheit. Ich komme auf den grenzwert : 1/1-pi, richtig ist aber 1/pi-1.
Kannst du mir evtl helfen?

Kommentar von PeterKremsner ,

Du musst drauf achten dass die geometrische Reihe von 0 weg geht und nicht wie hier von 1 daher muss man noch einen Schritt machen:

3* Sigma von n=1 bis unendlich von (1/pi)^n = 

3* (Sigma von n=0 bis unendlich von (1/pi)^n - 1)

jetzt machen wir den Grenzwert, dein q ist 1/pi und nicht nur pi daher ist der Grenzwert der Reihe:

1/(1-1/pi) = pi/(pi-1)

die ganze Reihe und die Lösung wird daher:

3*(pi/(pi-1) - 1) natürlich kannst du das auch schreiben als 3*(pi*1/(pi-1) - 1) oder 3*pi*(1/(pi-1) - 1/pi)

Kommentar von Asmodian ,

Okay supi alles verstanden. Nur eine kleine sache (wie üblich bei mir): das wievielte glied ziehst du ab um von n=0 auszugehen?
Du ziehst ja 1 ab, was dem 0.ten glied entsprechen würde wenn man 0 einsetzt. Bzw warum genau das 0.te?

Kommentar von PeterKremsner ,

Du hast eine Reihe von 1 bis unendlich stehen.

Du benötigst aber die Reihe von 0 bis unendlich.

Weil das 0te Element aber in deiner ersten (ursprünglichen) Reihe nicht enthalten ist in deiner zweiten aber schon musst du den Wert des 0ten Elements subtrahieren damit sich an der Reihe nichts ändert.

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