Frage von Asmodian, 45

Grenzwertberechnung mit e^x im Nenner?

Komme einfach nicht auf die Rechnung wie man den unten stehenden Grenzwert berechnet... Kann mir jemand helfen bzw tipps geben? Lösung ist : -1/2

Expertenantwort
von MeRoXas, Community-Experte für Mathematik, 31

Hauptnenner finden, das - des Bruchs vor den Limes schreiben, Regel von L'Hopital anwenden (das muss zwei mal geschehen).

Also:

Umschreibung: 

lim [x->0] (1/(e^x-1) - (1/x))= -lim [x->0] ([-x+e^x-1] / [ (e^x-1)*x] )

Das ganze geht gegen -0/0, Satz von L'Hopital muss her, also ableiten und wieder prüfen.

-lim [x->0] ( [e^x-1] / [e^x*(x+1)-1]

Das geht wieder gegen -0/0, also wieder Satz von L'Hopital.

-lim [x->0] ( [e^x / (e^x*[x+2] ))

Das geht nun gegen -1/2. Demnach geht auch lim [x->0] (1/(e^x-1) - (1/x)) gegen -1/2.

Kommentar von Asmodian ,

Du bist der beste danke dir!!!

Antwort
von nadinchen7592, 19

Schreibe e^x als Exponentialfunktion, d.h.

Summe(von k=0 bis unendlich)x^k/k!

Wenn du die Null einsetzt erhältst du eine 1, wenn du die abziehst, wie in der Aufgabe erhältst du nun die Summe(von k=1 bis unendlich)x^k/k!

Damit rechnest du dann einfach weiter. ;)

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