Frage von ELLo1997, 26

Grenzwert rekursiv definierter Folge?

Gegeben ist die rekursiv definierte Folge a_(n+1) = 1/4((a_n)² +3). Gesucht sind alle Startwerte a₀, für die die Folge konvergiert.

Zuerst habe ich nun angenommen, dass ein Grenzwert existiert und den Limes auf beiden Seiten genommen. Demzufolge existieren 2 Grenzwerte a = 1 oder a = 3. Meine Frage ist nun, wie ich die Startwerte herausfinden kann, für die diese Grenzwerte herauskommen? Meine Idee war a_(n+1) = a ( = der Grenzwert) zu setzen und zu sehen was a_n ist. Wenn man das tut, stellt sich heraus, dass der Grenzwert genau dann erreicht wird wenn a₀ = a_n = a_(n+1) = a (wenn also der Startwert schon der Grenzwert ist), was ich ja aber eigentlich schon weiß. Aber wie kann ich sicher sein, dass dies die einzigen Startwerte sind, für die jene Grenzwerte erreicht werden?

Antwort
von ralphdieter, 15

den Limes auf beiden Seiten genommen

Was Du vermutlich gemacht hast: Du hast die Fixpunkte der Funktion f(x)=(x²+3)/4 berechnet. Deine Folge lässt sich nämlich statt

    a₀, a₁, a₂, a₃, ...

auch als

    x, f(x), f(f(x)), f(f(f(x))), ...

schreiben.

Für die Fixpunkte ist sonnenklar, dass die Folge konstant ist und damit konvergiert. Aber es kann ja weitere Startwerte geben, die gegen diese Fixpunkte konvergieren, ohne sie je zu erreichen.

Schau Dir mal das Schaubild von f an, vor allem im Quadrat [1;3]×[1;3]. Hier macht f einen Bogen unterhalb der Winkelhalbierenden.

Die Folge für den Startwert x₀ kannst Du zeichnen, indem Du von <x₀; f(x₀)> waagrecht zur Winkelhalbierenden läufst und dann senkrecht wieder zu f. Das ist der Punkt <x₁; f(x₁)>. Weitere Punkte findest Du, indem Du diese Treppe weiterziehst.

Wie sehen nun diese Treppen für verschiedene Startwerte aus?

  • Im offenen Intervall (1;3) läufst Du immer nach links und nach unten. Letztendlich landest Du beim Fixpunkt <1;1>.
  • Bei x₀=3 hast Du wieder einen Fixpunkt.
  • Für x₀>3 geht die Treppe wegen f(x)>x immer weiter nach rechts und nach oben, also ins unendliche.
  • Auch zwischen 0 und 1 geht's immer nach rechts und oben. Diese Treppen laufen allesamt nach <1;1>.
  • Und ein negativer Startwert verhält sich wegen f(-x)=f(x) nach der ersten Iteration genau wie sein positives Pendant.

Damit sollte Deine Frage beantwortet sein.

Übrigens hast Du Glück, dass sich Deine Folge so anständig verhält. Neben der Konvergenz und dem Weglaufen gegen ±∞ kann eine Treppe auch zyklisch oder chaotisch verlaufen. Das passiert schon bei

    f(x) = 3,8·x·(1-x)

Diese Formel berechnet eine Fischpopulation mit Wachstumsrate r=3.8. Eigentlich ist das auch nur eine Parabel wie Deine, aber sie verhält sich eben komplett anders.

https://www.herr-rau.de/wordpress/2007/03/meine-erste-fischpopulation.htm

Kommentar von ELLo1997 ,

Vielen Dank zuerst für die detaillierte Antwort! Das ist wirklich ein sehr anschaulicher Weg auf die Lösung zu kommen. Aber kennst du vielleicht auch einen Weg, der ohne den Begriff "Funktion" auskommt? Ich müsste diese Aufgaben nämlich präsentieren und beim Thema Folgen und Reihen mal auf Funktionen auszuweichen ist vielleicht ein wenig frech^^.

Kommentar von ralphdieter ,

Beim Thema "Folgen und Reihen" serviert man eigentlich bevorzugt arithmetische und geometrische Folgen und Reihen.

Rekursive Folgen haben es in sich. Mit viel Glück kann man sie durch geschickte Substitution knacken, aber im Normalfall muss man da schon sehr tief in die Ana​lysis-Trickkiste greifen.

Schau Dir doch mal das Konvergenzverhalten Deiner Folge an: (-3; 3)⇒1, {-3;3}⇒3, sonst⇒∞. Ich glaube nicht, dass man das mit einem geschlossenen Ausdruck a(a₀,n) abbacken kann.

Die rekursive Fibonacci-Folge eignet sich vielleicht noch für eine anspruchsvollere Präsentation zum Thema. Aber schon die oben erwähnte Fischpopulation eröffnet ein ganz neues Teilgebiet der Mathematik (Bifurkationstheorie), und bei Collatz-Folgen ("3n+1") tappt man bis heute völlig im Dunkeln.

Falls Deine Aufgabe also zentraler Bestandteil der Präsentation ist, solltest Du wohl den Titel "Folgen und Reihen" nochmal überdenken.

Keine passende Antwort gefunden?

Fragen Sie die Community