Frage von xrain123, 77

Grenzwert gebrochen rationale Funktion?

Hallo, ich soll für die folgende gebrochen rationale Funktion die Grenzwerte für +- unendlichen bestimmen.

f(x)= 2^(x) / 2^(x+1)+2

Laut Lösungsbuch kommt für + unendlich 1/2 und für -unendlich 0 raus.

Hat jmd einen Ansatz hierfür

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 44

Hallo,

für x gegen - unendlich geht der Zähler gegen Null und der Nenner gegen 2, ergibt Null.

Bei x gegen + unendlich wendest Du die Regel von l'Hospital an und leitest Zähler und Nenner einmal ab:

Dann bekommst Du [ln(2)*2^x]/{2*[ln(2)*2^x]}

Die Terme in den eckigen Klammern kannst Du kürzen und es bleibt 1/2 übrig.

Herzliche Grüße,

Willy

Expertenantwort
von MeRoXas, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 39

Grenzwert für +unendlich:

2^(x+1)+2 lässt sich umschreiben zu 2^(x+1)*(1+1/2^x),

also haben wir nun

2^(x)/[2^(x+1)*(1+1/{2^x})]

2^x und 2^(x+1) kürzen sich zu 1/2, also haben wir

1/[2*(1+1/{2^x}]

Der obere Teil läuft gegen 1, der untere gegen 2. Wir haben als Grenzwert also 1/2.

Grenzwert für -unendlich:

Der obere Teil läuft gegen 0, der untere gegen 2. Wir haben also 0/2 als Grenzwert, kurz 0.

Kommentar von Willy1729 ,

Pfiffige Umformung.

Kommentar von xrain123 ,

Gut erklärt nur wie kommst du auf (1+1/2^x) bzw wie formst du dies um ?

Kommentar von MeRoXas ,

2^(x+1)+2 kannst du halt umschreiben zu 2^(x+1)*(1+1/2^x).

Das geschieht, indem du 2^(x+1) ausklammerst.

Das habe ich auch nur getan, damit ich 2^x und 2^(x+1) kürzen kann, das ist eigentlich keine sehr gängige Umformung.

Expertenantwort
von Ellejolka, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 6

Grenzwertsatz;

jeden Term durch 2^x teilen, ergibt:

(2^x)/(2^x) : [ 2 + 2/2^x] jetzt x gegen +oo ; dann wird 2/2^x dann 0

also bleibt 1/2

-------------------------------------------------------------

bei x gegen -oo ; dann wird 2/2^x "unendlich groß"

also Grenzwert des gesamten Bruchs ist 0

Antwort
von Melvissimo, 31

Wo ist das denn gebrochen rational?

Naja, klammere im Nenner eine 2 aus:

f(x) = 2^x / (2 * (2^x + 1)) = 1/2 * 2^x / (2^x + 1) | Addiere im Zähler eine 1:

= 1/2 * (2^x + 1 - 1) / (2^x + 1) | Nutze das Distributivgesetz:

= 1/2 * (2^x + 1) / (2^x + 1) - 1/2 * 1/(2^x + 1)

= 1/2 - 1/2 * 1/(2^x + 1).

Für x ~> +unendlich läuft der rechte Summand gegen 0.

Für x ~> -unendlich läuft der rechte Summand gegen 1/2.

Antwort
von Dovahkiin11, 28

Den Grenzwert für plus unendlich habe ich noch nicht ermittelt.

Wenn du minus unendlich eingibst, ist im Zähler 2^(- 999999...), das wäre das selbe wie 1/(2^99999....). Und das läuft bekanntlich gegen Null. Und egal, durch was du Null teilst und mit was du multiplizierst... 

Funktioniert aber nur, wenn die 2 im Bruch steht, wenn ich das richtig sehe.

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