Grenzwert der unendlichen Reihe 1/n^3 - Lösung?

Ist es noch aktueller Stand, dass niemand es geschafft hat den Grenzwert der unendlichen Reihe 1/n^3 zu berechnen? Oder hat es inzwischen jemand gepackt? (Das man ihn approximativ bestimmen kann ist klar, aber das meine ich nicht)

Answer 1

[notizhelge]

Wie schon jemand schrieb, ist das der Wert der Zetafunktion für das Argument 3. Dieser Wert wird auch Apéry-Konstante genannt. Diese Zahl ist irrational, kann also nicht als Dezimalzahl exakt dargestellt werden, nur Näherungswerte sind darstellbar.

Comments

[AJay1]

Es könnte aber sein, dass, wie beim Grenzwert der unendlichen Reihe 1/n^2 Pi im Ausdruck für den Grenzwert enthalten ist. Damit ließe sich eine irrationale Zahl ziemlich problemlos darstellen.

Answer 2

[hypergerd]

Die Summe 1/(n^x),n=1...unendlich = Zeta(x) -> Also Ergebnis:
Zeta(3)= A002117 (OEIS) = Apery's Konstante (alte Bücher)

Immer wieder behaupten einige, dass es Unterschiede bei irrationalen Zahlen gäbe bezüglich

• "elementar darstellbar" oder "approximativ / näherungsweise berechenbar"
• "Lösung unbekannt"

Aber das ist primitives "Schubfachdenken". Wissenschaftlich betrachtet sind die 3 irrationalen Zahlen gleichwertig -> können alle per unendl. Summe oder hypergeometrischen Funktionen auf mehrere Mio Stellen berechnet werden:

• pi=asin(1)* 2=A000796=hyg2F1(1/2,1/2,3/2,1)* 2=3.1415926535...
  die letzten 10 von 10.000.000.000.000 Stellen lauten: 1989228675
• sin(1) =A049469=hyg0F1(3/2,-1/4) =0.841470984807896506652502...
  die letzten 10 von 100.000 Stellen lauten: 12746790280
• Zeta(3) =A002117=hyg4F3(1,1,1,1,2,2,2,1)=1.202056903159594285399738...
  die letzten 10 von 100.000.000.000 Stellen lauten: 1708591678...

mehr Infos unter http://www.gerdlamprecht.de/Zahlenfolgen.html

Answer 3

[Lightwing]

Ergibt das nicht die Zetafunktion? Zeta(3) ...

Comments

[AJay1]

ja, nur die Zetafunktion ist für die approximative Bestimmung gedacht

[Lightwing]

@AJay1

Mmh, finde ich interessant, denn auf den ersten Blick sieht die Reihe ja recht einfach aus. Würde mich auch mal interessieren ob sie analytisch lösbar ist.

[AJay1]

@Lightwing

Das Interessante ist:

Die Grenzwerte der unendlichen Reihen 1/n^x , wobei x eine gerade natürliche Zahl ist, sind alle berechenbar.

Und alle mit ungeradem Exponenten > 3 nicht.

[Lightwing]

@AJay1

Ich versuche gerade einen Umweg über die Summenformel. Für Summe n^3 gilt vermutlich.: 1/4 (n - 2)^2 (n - 1)^2 (noch keine vollständige Induktion durchgeführt ...)

[Lightwing]

@Lightwing

Mist, das klappt so nicht ;-) Ich dachte ich könnte mal eben die Fields-Medaille bekommen ;-)

Answer 4

[FreundGottes]

n soll Element IN sein? Falls n Element IN_0 wüsste ich den Wert ;-))

Comments

[AJay1]

ich meine n Element IN. n Element IN_0 macht nicht wirklich viel Sinn oder? Das erste Glied wäre 1/0. --> ERROR

[FreundGottes]

@AJay1

Error gibt der Taschenrechner. Der Mathematiker würde beweisen, dass der Wert gegen unendlich geht.

[AJay1]

@FreundGottes

Nicht nur der Taschenrechner. Den Mathematiker möchte ich gerne kennen lernen, der beweist, dass 1/0 gegen unendlich geht :-D :-D :-D. Fakt ist: 1/0 ist nicht berechenbar.

[AJay1]

@AJay1

Es macht Sinn, wenn man sagt 1/n wobei n-->0. Dann kommt unendlich raus.

[FreundGottes]

@AJay1

so ist es :-)

[svennn1]

@AJay1

ich kenn mich mit der frage nicht aus, weil ich nichts schwieriges daran sehe. für n-->+unendlich wird 1/n logischerweise unendlich klein. minus unendlich quadriert ist dann minus unendlich. oder verpass ich da was. allerdings bin ich kein LKler oder Student, meine lösung is halt nur ne überlegung eines schülers

[AJay1]

@svennn1

Das Problem ist, dass das hier eine Reihe ist. Was du meinst ist eine Folge. Die unendliche Reihe 1/n^3 geht so los: 1/1 + 1/8 + 1/27 + ... Das bedeutet, dass die Einzelwerte aufsummiert werden.