Graphische Darstellung von Feldern?

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2 Antworten

Ein bekanntes Beispiel eines zweidimensionales Feldes ist die Geländeerhebung / das Höhenprofil einer Gegend.

In die Karte zeichnet man "Höhenlinien" ein, das sind Linien, die in konstanter Höhe um die Hügel herumlaufen. (Wenn man die Gegend flutet und das Wasser zur Ruhe kommen lässt, bilden die Ufer Höhenlinien zur Höhe des Wasserspiegels.)

Der "Wertunterschied" in diesem Beispiel ist der vertikale Abstand zweier Höhenlinien. Z. B. steht an einer Höhenlinie "140" und an der benachbarten Höhenlinie "150", dann ist der Wertunterschied dieser beiden Höhenlinien 10 m.

"Konstant" bedeutet hier, dass die nächste Höhenlinie bei gerade weiteren 10 m Höhenzuwachs eingezeichnet wird, also bei 160 m, und nicht bei einem anderen Wert wie 155 m oder 200 m.

Wenn du dir das Feld über einem zweidimensionalen "Raum" als Pappmaché-Modell vorstellst, wobei die Höhe jeweils der Feldstärke entspricht, ist jede Höhenlinie des Modells eine "Äquipotentiallinie" des Feldes. Diese Äquipotentiallinien sind es, die in den Zeichnungen eingezeichnet sind.

(Übrigens kann man solche Darstellungen von Feldern nur für Felder verwenden, die auch ein Potential haben. Das "Geschwindigkeitsfeld" z. B. eines Wasserstrudels hat kein Potential; es ist ein "Wirbelfeld" - hier laufen die "Feldpfeile" - die Geschwindigkeitsvektoren an ihre Bezugspunkte gezeichnet - um eine Linie bzw. einen Punkt im Zweidimensionalen herum.)

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Kommentar von okarin
04.10.2016, 17:43

Omg ja jetzt Blick Ichs glaub ich. Ich hab es irgendwie nur zerdacht. Ich hab mir bei der zweiten Skizze halt gedacht wenn phi immer größer wird wird r in immer kleineren schritten kleiner. Das Problem war jetzt nicht das ich daran gedacht hab das für größer werdendes phi auch r auf den 0 Punkt zukommt (nicht wie bei der oberen Skizze wo für größer werdendes phi sich auch r entfernt) und somit das Feld invertiert hab. Auf jedenfall Danke:D

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Konkret zu dem Ausdruck mit der Konstanten weiß ich gerade auch nicht genau was gemeint ist.

Aber mal generell ein Beispiel zum Thema Felder:
Sagen wir, aus welchem grund auch immer betrachtest du die Dinge aus der Mitte deines Zimmers aus. (Dort liegt der Ursprung deines Koordinatensystems)

Irgendeinen Ort im Raum gibst du durch einen Vektor R=(x1,x2,x3) beschreiben, der von der Raummitte zu diesem Punkt zeigt.
Den Abstand dieses Punktes vom Raummittelpunkt wird dann durch den betrag des Vektor r=|R| angegeben.

Sowei so gut.

Nun sagen wir mal, dich interessiert die Temperatur an einem bestimmten Punkt im Raum.
Diese ist rein zufällig als Formel, in Abhängigkeit vom Abstand vom Raummittelpunkt, gegeben:

phi(r)=beta*r

Du steckst also die 3 koordinaten des Ortsvektors in diese Funktion rein und bekommst die Temperatur an diesem ort heraus.

Nun ist dir sehr langweilig und du malst ein Bild aus der Vogelperspektive (von oben also) von deinem Zimmer.

Und dich interessiert an welchen Orten im raum es zurzeit 30° ist.

nun rechnest du ein bisschen hin und her.

Und anstatt nun unzählige Kreuze an all den Stellen auf deinem Bild zu machen, an denen es 30° ist (was sehr häsllich und unübersichtlich werden würde),
ziehst du einfach eine durchgezogene linie durch alle Punkte, an denen 30° ist.

Gesagt getan.

Weil dir immer noch langweilig ist, machst du das Selbe  für alle Orte , and denen die Temperatur 20° ist.

Und dann für 15°.

Und so weiter.

Dann erhälst du ein Bild wie oben gezeigt.

Du verbindest letztlich alle Punkte, an denen der Wert von phi(r) gleich ist, durch eine durchgezogene Linie.

Dass dabei gerade Kreise herauskommen, ist reiner zufall und hängt mit dieser speziellen Formel zusammen .
Prinzipiell könnten es auch Spiralen, zickzack-Linien oder irgend etwas Anderes sein.

Dass es in diesem Fall Kreise sein müssen (!), siehst du schon an der Formel:
phi(r)=beta*r

phi(r) ist einfach nur ein vielfaches von r, dem Abstand zum Raummittelpunkt.

Ist der Abstand vom mittelpunkt gleich, so ist demnach auch phi(r) gleich.
Was eben das charakteristische für einen kreis ist.

Übrigens: Du siehst so zwar an welchen Stellen die phi(r) Werte gleich sind, aber letztlich nicht welchen Wert phi(r) genau hat.

Und der Vollständigkeit halber:
bei der Funktion handelt es sich um ein "Skalarfeld".
Das heißt so, weil du bestimmte Dinge reintust und hinterher ein Skalar herauskommt  (eine Zahl und nicht z.B. 3 koordinaten wie bei einem vektor).

Ansonsten gibt es da dann noch vektorfelder, die genau das tun wie es sich auch anhört:

einen Vektor als Ergebnis liefern.

Achja, zu deiner eigentlichen Frage:
Das mit dem Konstanten hat bestimmt was Folgendem zu tun:
Betrachten wir mal alle Punkte im Abstand r1=3 und r2=5.
Dann ist phi(r2)-phi(r1)=beta*5-beta*3=beta*(5-3)=beta*2=phi(2).

Wenn du jetzt nicht konkret 3 und 5 nimmst, sondern irgendwelche Abstandswerte wie a und b , Dann wirst du immer finden dass
phi(b-a)=phi(b)-phi(a) ist.

Könnte vielleicht damit zu tun haben.
Könnte auch sein dass mit der Konstanten einfach beta gemeint ist.
So genau weiß ich das nicht, dazu fehlen mir einfach die nötigen hintergrundinformationen.

Aber ich denke doch stark dass es damit mit ersterem zusammenhängt.

Prinzipiell ist das aber auch egal. Wichtig ist dass du weißt wie man den Wert eines solchen Feldes an einem bestimmten Punkt berechnet und wie so eine Zeichnung zu deuten ist bzw. selber zu machen ist.

Hoffe, das war Alles irgendwie verständlich :-)

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