Frage von Alex9Q1, 45

Globalverhalten einer Funktion?

f(x)=x^4 + 6x^3 + 8x^2

Wie rechnet man das aus? Fand bisher keine Erklärung die ich verstanden habe

Expertenantwort
von TechnikSpezi, Community-Experte für Computer, Schule, PC und Hardware, 9

Globalverhalten heißt normalerweise, du sollst die Funktion quasi skizzieren bzw. im Kopf aufmalen. Du sollst also am Ende sagen können, wie die Funktion ungefähr aussehen muss und von wo sie kommt und wohin sie geht, um das mal einfach auszudrücken.

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Ich würde bei einer solchen Aufgabe zuerst einmal das Unendlichkeitsverhalten berechnen und anschließend evtl. noch die Symmetrie.

Das Unendlichkeitsverhalten bestimmst du entweder mit dem Limes (Grenzwert) oder am einfachsten:

Du nimmst die Zahl mit dem  höchsten Exponenten und setzt einmal positive und negative Werte ein.

Hier wäre es die x⁴. Egal ob du positive oder negative Werte einsetzt, es wird immer positiv. Das heißt:

lim x-->+∞ = +∞

lim x--> -∞ = +∞

Besser kann ich es gerade nicht aufschreiben, ich denke du weißt, wie das aussehen sollte. Wenn nicht, schaue mal ins Bild! ;)

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Die Symmetrie kannst du ganz schnell bestimmen, es ist nämlich keine vorhanden. Die Exponenten sind nämlich sowohl gerade als auch ungerade und somit ist keine Symmetrie vorhanden.

Falls du nochmal reinschauen möchtest hier nochmal alles, was du zur Bestimmung und Berechnung vom Symmetrieverhalten benötigst:

http://www.mathebibel.de/symmetrieverhalten

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Ich kann mir auch vorstellen, dass damit gemeint sein soll, dass du die Extrempunkte berechnest. Durch die unterschiedlichen Bundesländer kommt das oft vor, dass man unter solchen Begriffen unterschiedliches versteht. Ich gehe aber stark davon aus, dass du das hier nicht brauchst. Sprich, das Unendlichkeitsverhalten und die Symmetrie sollten ausreichend sein. Selbst die Symmetrie gehört da nicht unbedingt zu.

Falls du es doch machen musst, hier nochmal, wie das funktioniert:

Zuerst leitest du die Funktion ab. Einfacher ist es, wenn du sie gleich 2 mal ableitest, weil du dir dann das Vorzeichenwechsel-Kriterium sparen kannst. Das ist aber auch wieder davon abhängig, in welchem Bundesland du lebst und wie weit ihr seid. Wir in NRW haben nacheinander beide Wege (per VZW & 1. Ableitung und per 2. Ableitung) kennen gelernt und können seit dem frei Wählen, welches Verfahren wir nutzen.

Je nachdem, wie weit ihr seid, gehören dazu auch Wendepunkte. Dafür benötigst du dann zwingend die 2. Ableitung und je nach Verfahren auch 3. Ableitung. Ich bzw. wir machen es jedes mal mit der 2. und 3. Ableitung.

Also:

f(x) = x⁴ + 6x³ + 8x²

f'(x) = 4x³ + 18x² + 16x

f''(x) = 12x² + 36x + 16

f'''(x) = 24x + 36

Nun berechnest du zuerst die Extrempunkte, also Hoch-, Tief- und Sattelpunkte.

Notwendige Bedingung:

f'(x) = 0

Wenn du die Nullstellen hast, setzt du diese in die 2. Ableitung ein.

Dabei gilt:

Hinreichende Bedingung:

f''(x) ≠ 0

--> Wenn trotzdem = 0 raus kommt, musst du zwangsläufig das VZW-Kriterium anwenden.

Wenn f''(x) > 0 --> Tiefpunkt

Wenn f''(x) < 0 --> Hochpunkt

Ähnlich machst du das ganze bei den Wendepunkten, nur jeweils eine Ableitung weiter. Hier wäre die Notwendige Bedinugung also f''(x) = 0 und die Hinreichende f'''(x) ≠ 0.

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Aber denk dran, as I said: Unendlichkeitsverhalten und Symmetrie müssten die Aufgabe schon komplett erfüllen! :)

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Liebe Grüße

TechnikSpezi


Antwort
von eddiefox, 2

Hallo,

Unter dem globalen Verhalten einer Funktion versteht man ihr Verhalten im Unendlichen.

Durch Ausklammern der höchsten Potenz von x schreibt
sich f(x) wie folgt:

f(x) = x⁴(1+6/x+8/x²), x≠0

Für die Terme mit x im Nenner gilt:

lim 6/x = lim 8/x² = 0
x→+/-∞ x→+/-∞

so dass der Ausdruck in der Klammer gegen 1
und x⁴ gegen +∞ strebt, wenn x→+/-∞.

Insgesamt: lim f(x) = lim x⁴ = +∞
x→+/-∞ x→+/-∞

Gruss
Antwort
von valvaris, 28

Bei sowas werf ich immer erstmal nen Blick auf die Antwort von wolframalpha.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=f(x)%3Dx%5E4+%2B+6x%5E3+%2B+8x%5E2

Da siehst du schon, dass sich die Funktion an Schranken annähert, die sie nicht mehr überschreitet.

Globalverhalten als Begriff hab ich zwar noch nicht gehört - oder erinner mich nich mehr dran ^^' - aber das klingt für mich stark nach "Wie verhält sich das im Unendlichen", was so viel  heißt wie, "lass x gegen +/- unendlich laufen" und das ist der Grenzwert / Limes.

Kommentar von Alex9Q1 ,

Gute Seite, Danke, bin aber etwas verwirrt was ich mir jetzt angucken muss um das Globalverhalten zu beschreiben, aber ja, das ist das mit dem gegen unendlich laufen lassen.
Bin allerdings auch ein schwerer, hilfsloser Fall in Mathe :-)

Kommentar von valvaris ,

Mehrere Möglichkeiten: Du hast einmal oben die Graphen, wenns reicht, die zu beschreiben, ohne dass du was nachweisen musst.

Dann kannst du schauen, an welchen minimalen und maximalen x-Wert sich der Graph annähert, ohne den zu übertreten.

Ansonsten ist weiter unten auch die ausgeklammerte und noch die ausgeklammerte und in eine Faktorisierte Form umgerechnete Formel gegeben.

Das kannst du nehmen, die Limes-Funktion davor schreiben und das Ganze gegen +/- unendlich laufen lassen und dann schauen, was von dem Term noch übrig bleibt und was du streichen kannst, weil es gegen unendlich kein Gewicht mehr hat (x² wiegt schwerer als x, weil x² schneller im Unendlichen verschwindet.)

Expertenantwort
von Suboptimierer, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 27

x² ausklammern, dann pq-Formel

Antwort
von Asphorm, 9

Achte auf den höchsten Exponenten, ist er gerade, geht die Gleichung beide Male ins Plus-Unendlich, ist er negativ, geht er für x neg. ins Minus-Unendlich und für x pos. ins Plus-Unendlich, ein minus davor kehrt aber alles um, z.B. -2x^2...

Antwort
von iShowdown, 23

Salz draufstreuen

anzünden

exorzisten rufen

Kommentar von Alex9Q1 ,

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