Frage von Ente73, 63

Gleichungsystem Wie heisst x und wie kommt man auf x=81, y=25?

Hallo zusammen

Hier eine Aufgabe, die ich nicht lösen kann:

Ich begriff, dass 14 4mal in 56 enthalten ist. Ich substituierte

Wurzel x zu a und Wurzel y zu b

Doch wie gehe ich weiter? Danke für Eure Hilfe Bitte einzelne Schritte, damit ich sie nachvollziehen kann..

lg E.

(Aufgabe 9, Prüfung März)

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von Willy1729, Community-Experte für Mathe, 10

Hallo,

der Trick bei der Lösung besteht darin, daß die Wurzeln nicht dadurch aufgelöst werden, daß man die Gleichungen quadriert, sondern daß man sie durch normale Variable ersetzt.

√x ist a, √y ist b.

Dann ist x natürlich a², denn x ist das Quadrat von √x, während y aus demselben Grund b² ist.

Nun sind beide Wurzeln erst einmal vom Tisch, was beim Quadrieren nicht der Fall gewesen wäre. Da Du es mit einer Summe zu tun hast, wäre es hier nach der ersten binomischen Formel gegangen, bei der immer noch das mittlere Glied übrigbleibt, das nicht quadriert ist. Somit wäre eine Wurzel erhalten geblieben:

√x+√y=14 | Quadrieren:

(√x+√y)²=196

x+2√(xy)+y=196 

Du siehst, mit dieser Methode wäre nichts gewonnen, Du müßtest Dich immer noch mit einer Wurzel herumplagen.

Durch die Substitution bekommst Du das wesentlich angenehmere a+b=14.

Aus x-y=56 wird so a²-b²=56

Hier hast Du es auch mit einer binomischen Formel zu tun, aber mit der dritten. Die hat den Vorteil, daß es bei ihr kein mittleres Glied gibt. Du hast also nach der Auflösung keine Mischung aus Quadraten und einfachen Variablen oder Wurzeln und einfachen Variablen, sondern Du hast es nur noch mit einfachen Variablen zu tun:

Aus a²-b²=56 wird (a+b)*(a-b)=56.

Der Term a+b taucht aber bereits in der anderen Gleichung auf, wo steht:

a+b=14 Du kannst also a+b einfach durch 14 ersetzen:

14*(a-b)=56 |:14

a-b=4

a=b+4

Nun setzen wir a=b+4 in die erste Gleichung ein:

b+4+b=14

2b+4=14

2b=10

b=5

Da a=b+4 und b=5, ist a=5+4=9

Nun hast Du Werte für a und b gefunden. Ganz fertig bist Du allerdings noch nicht, denn Du suchtest ja x und y.

Da a=√x und b=√y, gilt:

9=√x; x=81

5=√y; y=25

Da keine Fallunterscheidung gemacht werden sollte, brauchst Du Dich nicht darum zu kümmern, daß Quadratzahlen auch negative Wurzeln haben können, klappst Dein Heft zu und gehst fürbaß.

Herzliche Grüße,

Willy

Kommentar von Willy1729 ,

Vielen Dank für den Stern.

Willy

Antwort
von ThomasAral, 35

also I und II ist standard substitution und einsetzen

das erstaunliche ist dann III + IV dass sich das so gut aufhebt ... ich denke  das weiss man am anfang noch nicht dass es so kommt.  man rehchnet w ie gewohnt bis man  III + IV bildet .... und überlegt wie man da am besten eine variable weg kriegt .... hier eben mit Adition  III + IV


Kommentar von ThomasAral ,

also schrittweise:

1. wurzel (x) * wurzel (x)   = x

2. wurzel (y) * wurzel (y ) = y  

...  diese zwei dinge sollte man ausändig wissen und sofort sehen, daraus folgt dass in beiden gegebenen zeilen nur wurzeln aus x und y vorkommen.  dies wird dann substituiert, weil man ohne wurzel besser rechnen kann ----   also a = wurzel(x)   b = wurzel (y)

3. für die erste gleichung entsteht die 3te binomische formel =  (a² - b²) ... das sollte man auch auswändig wissen dass dies  (a + b) * (a - b)  ist

Kommentar von ThomasAral ,

4: I + II ist damit klar, und dass man I in II einsetzt oder umgekehrt ist auch standard ...  damit erhält man III und IV

5. nun schauen wie man eine variable wegbringt ---- die lösung:  addieren .....   wenn man die eine dann raus hat, dann ins ursprüngliche system einsetzen und man hat die zweite:  also a und b raus.

6. jetzt wieder die substitution rückgängig machen --- also gesucht ist ja nicht wurzel(x)  sondern  x ....   also nur mit sich selbst mal nehmen (siehe 1. und 2. punkt der überlegung hier.  das selbe mit wurzel(y)

Antwort
von eterneladam, 17

Du hast nach der Substitution a² - b² = 56, mit der dritten binomischen Formel schreibt man dies als (a-b)(a+b)=56

Jetzt kannst du (a+b)=14 verwenden, beide Seiten dadurch dividieren gibt a-b=4

Jetzt nutzen wir wieder a+b=14, wir addieren die beiden Gleichungen die wir haben zu 2a=18, d.h. a=9, und nochmal wegen a+b=14 erhalten wir b=5.

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