Frage von hannah5548, 36

gleichungssysteme was wie wo?

hallo ich habe eine frage unzwar ich hab im vorjahr gelernt was gleichungssysteme sind ich hab jetzt vergessen welche drei verfahren es gibt bzw wie man die anwendet könnte mir jemand erklären wie diese verfahren nochmal hießen und was man da tut ? lg danke ps. im internet verstehe ich diese rechnerei nicht oder falls jemand schon diese frage gestellt hat dann könnt ihr dies auch verlinken denn ich hab nämlich nichts hier gefunden;) lg danke

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von MeRoXas, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 31

Die drei Verfahren, die du wahrscheinlich meinst, sind:

Einsetzungsverfahren

Additions/Subtraktionsverfahren

Gleichsetzungsverfahren


Einsetzungsverfahren: 

Entweder hat eine Gleichung bereits die Form x=... oder y=..., oder du stellst eine der gegebenen Gleichungen so um, dass sie diese Form hat. Dieses x bzw. y kannst du dann in deine andere(n) Gleichung(en) einsetzen. Dadurch fällt nämlich dann das x bzw y weg, sodass du die jeweils andere Variable berechnen kannst.


Beispiel:

I. x+y=4

II. x=3y+2


Nun wird II in I eingesetzt:

(3y+2)+y=4

3y+2+y=4


Das kann man nun nach y lösen, dann x berechnen.


Additions/Subtraktionsverfahren:

Du formst beide Gleichungen so um, dass sie von einer bestimmten Variable "die selbe Anzahl" haben. Dann ziehst du sie voneinander ab bzw. addierst sie. Das zeige ich dir am besten an einem Beispiel:

I. 3x+y=2

II. 2x+3y=5


Wenn ich jetzt die erste Gleichung mit 3 multipliziere, hab ich in I jeweils 3y und in II jeweils 3y:

I. 9x+3y=6

II. 2x+3y=5


Wenn ich jetzt II von I abziehe, erhalte ich:

I-II: 7x=1

Das kann man dann nach x lösen, dann y berechnen.


Gleichsetzungsverfahren:

Haben zwei Gleichungen die Form x=... oder die Form y=..., kann ich die beiden Gleichungen gleichsetzen und ausrechnen, da jeweils eine Variable wegfällt.


Beispiel:

I. x=2y+4

II. x=6y-2

Gleichsetzen:

2y+4=6y-2

Das kann man nach y lösen, dann x berechnen.

Kommentar von hannah5548 ,

das ist aber wirklich sehr sehr lieb von dir dir so viel zeit zu nehmen und mir das zu erklären vielen dank dir;)

Antwort
von Naydoult, 14

Ich gehe mal von einem 2x2 Gleichungssystem aus, wo diese Verfahren meist gut anzuwenden sind. Vermutlich meinst Du die 3 Verfahren die meist in der Mittelstufe gelehrt werden? Folglich folgt folgende Folge:

---

1.) Additionsverfahren (Subtraktionsverfahren)

2.) Einsetzungsverfahren

3.) Gleichsetzungsverfahren

---

Allgemeine Form eines 2x2 Gleichungssystems:

I. ax+by = e

II. cx+dy = f

1.) Hier probiert man erst passend umzuformen, sodass man die Gleichungen mit einander addieren kann, und bei der neuen eine Variable eliminiert ist.

I. ax+by = e

II. cx+dy = f

a.) I.*c

b.) II.*(-a)

I´. cax+cby = ce

II´. -acx-ady = -af

c.) I´. + II´.

cby-ady = ce-af

Ab hier stellt man dann nach y um, würde man das weiterführen, so leitet man sich die Cramersche Regel her. ;)

Danach in die ursprüngliche Gleichung einsetzen und nach x auflösen.

2.) Beim Einsetzungsverfahren stellt man nach einer Variablen direkt um, natürlich wird das keinen konkreten Wert als Zahl ergeben, doch diesen setzt man dann in die andere Gleichung ein und löst (muss man auch) für die andere Variable auf. Das Ergebnis setzt man dann in die Zwischengleichung, welche man ursprünglich eingesetzt hat ein.

I. ax+by = e

II. cx+dy = f

a.)

ax+by = e l -by

ax = e-by l :a

x = (e-by)/a

b.)

c*((e-by)/a)+dy = e

((ce-by)/a)+dy = e l -((ce-by)/a)

dy = e-((ce-by)/a) I :d

y = (e-((ce-by)/a))/d

Da y frei von jeglichen Variablen ist, wird ein konkreter Wert herauskommen, diesen setzt man anschließend ein.

x = (e-b((e-((ce-by)/a))/d))/a

Hier nicht von dem y verwirren lassen, da würde schon längst ein konkreter Wert stehen durch b.)

Damit ist man fertig.

3.) Die Idee besteht darin beide Gleichungen entweder nach x oder y aufzulösen und anschließend gleichzusetzen. Dadurch kann man nach der jeweiligen Variable auflösen und anschließend in eine Zwischengleichung einsetzen.

I. ax+by = e

II. cx+dy = f

a.)

ax+by = e l -by

ax = e-by l :a

x = (e-by)/a

cx+dy = f l -dy

cx = f-dy I :c

x = (f-dy)/c

b.)

(f-dy)/c = (e-by)/a l *c

f-dy = (ec-by)/a l -f

-dy = ((ec-by)/a)-f l :(-d)

y = (((ec-by)/a)-f)/(-d)

c.)

x = (f-d(((ec-by)/a)-f)/(-d))/c

Fertig. :)

---

Das wären alle drei Verfahren.

Antwort
von kindgottes92, 21

Bin grad nur mit dem Handy drin, da ist mir das zu viel Tipperei. Wenn dir nachher noch niemand geantwortet hab, probier ichs nochmal vom PC aus.

Expertenantwort
von fjf100, Community-Experte für Mathe, 12

MERKE : Für jede Unbekannte braucht man eine Gleichung,sonst ist die Aufgabe nicht lösbar.

Es gibt 4 Methoden zum lösen eines "linearen Gleichungssystems" LGS

1. "Additionsverfahren"

2. "Gleichsetzverfahren"

3."Einsetzverfahren"

4. "Gaußscher Algorihtmus" 

siehe Mathe-Formelbuch,wie den "kuchling".So ein Buch bekommt man privat in jeden Buchladen.

Für 30 Euro sind das ca. 600 Seiten mit Formeln ,Zeichnungen und kleinen Beispielaufgaben.

Kommentar von Naydoult ,

Es existiert auch noch die Cramersche Regel, man kann LGS auch zeichnerisch lösen.

Kommentar von fjf100 ,

Danke für deinen Kommentar !Hab es im Inhaltsverzeichnis meines Mathe-Formelbuch gesehen.

Werde diese Info in meinen Unterlagen aufnehmen.

HINWEIS: kein Ingeniör rechnet sowas noch von "Hand".

- Risiko für Fehler zu groß

- "Handarbeit" ist zu teuer. Ingeniörstunde beim TÜV 120 Euro

- nur in der Schule rechnet man diese Aufgaben in "Handarbeit"

Schülerstunden kosten ja nix !

Die Ingeniöre benutzen Rechner.  

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