Frage von Zaladusadu, 53

Gleichungssystem mit Variable^2 lösen?

Hallo zusammen,

wie würdet ihr dieses Gleichungssystem lösen ?

z = 2*(x-1)^(2)-1 

y = 2x + 3 

x = -2y + z

Durch die Quadrierung ist das ganze ja kein Lineares Gleichungssystem mehr. Was also tun ?

Danke schonmal !

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von FuHuFu, 12

Du hast ja 3 Gleichungen

I,     z = 2 (x-1)² - 1

II.    y = 2x +  3

III    x = -2y + z

Wir setzen II. in III. ein und erhalten

x = -2 (2x + 3) + z

Wir lösen nach z auf

x = -4x -6 + z

5x +6 = z

Das kannst Du jetzt in Gleichung I. einsetzen und erhältst

5x + 6 = 2 (x-1)² -1

5x + 6 `= 2x² -4x - 2 -1

0 = 2x² -9x -7

x1/2 = (9 +/- SQRT (81 - 56)) / 4 = (9 +/- SQRT (25)) / 4

x1 = 14 /4 = 3,5    x2=1

Den Rest kannst Du jetzt selber

Antwort
von gilgamesch4711, 3

  Jetzt kommt die quadratische Gleichung ( QG ) ins Spiel

   z  =  2  (  x  -  1  )  ²  -  1    (  2.1  )

   z musst du einsetzen aus ( 1.6 )

  2  (  x  -  1  )  ²  -  5  x  -  7  =  0    (  2.2a  )

   2  x  ²  -  9  x  -  5  =  0   (  2.2b  )

   Und zwar ist ( 2.2b ) aus gegebenem Anlass die ===> primitive Form ( PF ; ganzzahlig gekürzt ) deiner QG ; ich komme darauf zurück. Halt Stopp, mit der Mitternachtsformel habe ICH nichts am Hut. Schau mal, was Pappi alles weiß:

https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_%C3%BCber_rationale_Nullstellen

   Der Satz von der rationalen Nullstelle ( SRN )

   Und? Hast du dich von deinem Schock erholt?

   Jetzt besitzt doch dieses Wiki die Boden lose Unverschämtheit zu behaupten, Gauß habe den SRN auch nur GEKANNT - geschweige ihn entdeckt. Eine dreiste Fälschung genau wie bei den auf Alt getrimmten Rembrandtgemälden; als ich meine erste 5 in Mathe geschrieben hatte, hätte ich mir nie träumen lassen, dass ich mal zum Fachmann für Fälschungen aufrücken würde. Der SRN wurde von einem anonymen Meister 1990 im Internet gefunden.

   Da ist zunächst die mangelnde Professionalität des Wikibeitrages; ein Teorem, das ehrwürdige 200 Jahre auf dem Buckel hätte, wäre längst Wasser dicht auf das klein Gedruckte abgeklopft.  Mir ist bisher noch kein Portal begegnet, das durchschaut hätte, dass eine Anwendung des SRN ja nur bei PF Sinn voll ist ( Warum ?! )   Wiki entblödet sich nicht einmal, Polynome mit gebrochenen Koeffizienten zu diskutieren; WAS ein Geschnatter. Professionell wäre die Bemerkung:

   " Gegeben sei ein primitives Polynom. "

   Frag mal deinen Lehrer; ich denke Gauß ist Kult ...

   Erinnere ihn auch gleich daran, dass die einzigen ernst zu nehmenden Algebrabücher Artin und v.d. Waerden ( 1930 ) sind ( Der kennt das natürlich. ) Der soll mal nachsehen, ob diese beiden Autoren je vom SRN gehört haben.

   Ach übrigens; ich bin ja bösartig. Kannst du noch den " kanonischen " Beweis, dass Wurzel ( 2 ) irrational? Wofern du ihn vergessen haben solltest - alles Schuld deiner Lehrer; schau ruhig nochmal im Internet nach.

  Halt Stopp; und jetzt führst du den selben Beweis über den SRN .

   DAS wirst du dein Lebtag nicht mehr vergessen.

   Der Moment der Erleuchtung heißt im japanischen ===> Zen Buddhismus ===> Satori.

   Bei der Konkurrenz ===> Mathelounge haben Studenten übrigens Aufgabenblätter gepostet, aus denen unzweifelhaft hervor geht, dass die Herren Profs noch nie vom SRN vernommen haben.

   so das musste mal sein; Teil 3 folgt gleich.

Antwort
von gilgamesch4711, 2

   Beschränken wir uns erst mal auf das LGS ; du kennst sicher den Lehrsatz der AGULA

   " Allgemeine Lösung = Sonderlösung + Lösungsraum des homogenen LGS "

   Schreiben wir daher das homogene LGS an.

   2  x  -       y         =  0   |  :  x       (  1a  )

       x  +  2  y  -  z  =  0  |  :  x          (  1b  )

    Y  :=  y / x  ;  Z  := z / x         (  2  )

    Diesen Divisionsalgoritmus habe ich ersonnen, um die Anzahl der Unbekannten zu vermindern; zwei Unbekannte sind beherrschbar. Außerdem schadet bei einem homogenen LGS Dividieren ja nichts, da rechts eh Null steht.

        Y         =   2      (  3a  )

    2  Y  -  Z  =  (  -  1  )  ===>  Z  =  5         (  3b  )

    hom. Lös.  =  x  (  1  |  2  |  5  )         (  4  )

   Ein bissele verwegen ist diese Division an sich schon; zulässig ist sie nur, falls es keinen Kernvektor mit x = 0 gibt. Setzen wir x = 0 in ( 1ab ) , so ergibt sich unmittelbar aus dem Gaußschen Dreiecksverfahren die triviale Lösung.

   Es läuft ja alles darauf hinaus, dass die Koeffizientenmatrix von ( 3ab ) schon regulär ist; bei der Suche nach der inhomogenen Sonderlösung dürfen wir abermals x = 0 setzen. Oder vornehmer gewendet; Es existiert eine Sonderlösung deines LGS mit x = 0 .

       y         =  3        (  5a  )

   2  y  -  z  =  0  ===>  z  =  6     (  5b  )

   allg.  Lös.  =  (  x  |  3  +  2  x  |  6  +  5  x  )     (  6  )

   Ich schick erst mal ab, damit dieser gefi ckte Editopr nicht wieder abstürzt; Teil 2 ist aber versprochen.

Expertenantwort
von Ellejolka, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 20

II in III einsetzen

x = -2(2x+3)+z    nach z lösen und in I einsetzen

dann x berechnen

Antwort
von Marvin2909, 31

Sagen dir die binomischen Formeln etwas?

Kommentar von Zaladusadu ,

Ja das ist klar. Die frage ist, wie das Gleichungssystem zu lösen ist. Sind ja drei Gleichungen.

Kommentar von Marvin2909 ,

Achso, habe die dritte übersehen.

Stelle die erste Gleichung einfach nach einer Variable deines Belieben um und setze dies dann in die beiden anderen Gleichungen. Dann nur noch wie üblich mit Gleichsetzungs-/Additons- /Einsetzungsverfahren lösen.

Kommentar von Zaladusadu ,

Oh, tja... fail ;D.

Ich hab die ganze Zeit gedacht "AHH mit dem Gaußverfahren geht das nicht!!". Manchmal denkt man einfach zu Kompliziert....

Dankesehr ;)

Kommentar von Marvin2909 ,

Bitteschön.

Antwort
von askme9999, 21

Wenn du zB x^2= irgendetwas hast dann must du die Wurzel von dem irgendetwas ziehen und schon weißt du was das x ist! :)

Ganz einfach also bei hoch 2 -> Wurzel ziehen :)

LG

Kommentar von Zaladusadu ,

jop, klar :D aber die Frage ist, wie ich das Gleichungssystem löse. Es wird vermutlich auch mehrere Lösungen für x,y und z geben. Problem ist, dass das ganze kein Lineares Gleichungssystem mehr ist :/.

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