Frage von ehochicks, 12

Gleichungen komplexer Zahlen?

Hey Leute, ich habe nun sehr lange an den folgenden drei Aufgaben herumprobiert, aber ich komme einfach nicht auf die Lösungen. Ich wäre dankbar für jeden Tipp! (Nur Lösungsansätze, keine Ergebnisse bitte)

Lösen Sie die folgen Gleichungen für z Element IC:

b) z² = 3 - 4i

c) z² - 4e^(pi/3 * i) * z - 4 = 0

d) z^6 - 2z³ + 4 = 0

Bei b) kann ich einfach nicht die Eulerform des rechten Terms bestimmen, um die Wurzel zu ziehen, da ich einfach nicht auf "runde" sin und cos Werte komme. Die Aufgaben sind so konzipiert, dass sie ohne TR zu lösen sind.

Und bei c) und d) habe ich absolut keinen blassen Schimmer, wie ich da Anfang soll. Ich bin mit jeder Idee gescheitert.

Ich bin für jede Hilfe dankbar! :)

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von Korrelationsfkt, 12

Fangen wir bei Aufgabe b) an.

Die Eulerform brauchst du nicht.

Forme die rechte Seite so um, dass du eine Binomische Formel hast. Danach ziehst du die Wurzel und fertig.


Kommentar von Korrelationsfkt ,

Aufgabe d) ---> Substituiere z^3

Kommentar von ehochicks ,

Also d) habe ich jetzt super hingekriegt, aber ich weiss nicht, wie das mit b) und dem Binom klappen soll...

Kommentar von Korrelationsfkt ,

Bei der Berechnung mit komplexen Zahlen wird dir dieser "Trick" noch oft behilflich sein.

3 - 4i = 4 - 4i -1

= 4 - 4i + i^2

= (2 - i)^2

Wurzel ziehen nicht vergessen.

Kommentar von Willy1729 ,

Der Trick mit dem Binom ist echt gut. Erspart eine Menge Arbeit. Vielen Dank.

Kommentar von ehochicks ,

Ok, in dem Komenntarereich bei Willy hab ichs verstanden. Da wäre nich nie drauf gekommen :D Danke :)

Kommentar von Korrelationsfkt ,

Danke für den Stern.

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 11

Hallo, 

bei Aufgabe b kann ich Dir helfen:

zunächst bestimmst Du r von 3-4i, also den Betrag der Polarkoordinate:

Der ist die Wurzel aus (3²+(-4)²)=Wurzel (25)=5

Da 3-4i=z², ist der Betrag von z daraus die Wurzel, also Wurzel (5)

Nun bestimmst Du den Winkel zwischen der x-Achse und dem Zeiger
von 3-4i:

Der ist der Arkustangens von (-4/3) (Bogenmaß).

Um nun Phi 1 und Phi 2 zu bestimmen, also den Winkel der Lösung, rechnest Du einmal [arctan (-4/3)+0*2Pi]/2 (n=2, da es zwei Lösungen gibt)

und [arctan (-4/3)+1*2Pi]/2

Diese beiden Lösungen (also Phi 1 und Phi 2) gibst Du nun in die Gleichung

r*(cos (Phi)+i*sin (Phi)) ein und bekommst so die beiden Lösungen

z1=2-i und z2=-2+i

Bei Aufgabe d) würde ich z³ durch u substituieren, so kommst Du auf eine quadratische Gleichung.

Herzliche Grüße,

Willy

Kommentar von Korrelationsfkt ,

Mit der Binomischen Formel lässt die b) sich viel einfacher lösen :-)

Kommentar von Willy1729 ,

Meinst Du z²=4-4i-1, z=+/-(2-i)?

Kommentar von Korrelationsfkt ,

Ja genau. Die -1 natürlich als i^2 ausdrücken.

Kommentar von Willy1729 ,

Ist klar, war nur zur Verdeutlichung, da 4-1=3.

Das funktioniert aber nicht immer. Oft braucht man doch die Euler-Form.

Kommentar von ehochicks ,

Bin ich auf dem richtigen Weg, wenn ich bei c) aus dem "Euler-Glied" eine Koordinatenform bastle, um dann irgendwie mit der pq-Formel weiterzumachen?

Kommentar von Willy1729 ,

Mir fällt im Moment die Eulersche Identität ein: e^(Pi*i)=-1

Dann müßte e^(Pi*i*(1/3)) die dritte Wurzel aus -1, also auch -1 sein.

Vielleicht läßt sich damit weiterarbeiten. Ich bin mir aber nicht sicher (betreibe Mathe nur aus Spaß an der Freud).

Kommentar von Willy1729 ,

Dann kämst Du auf die quadratische Gleichung z²+4z-4=0, die zwei reelle Lösungen besitzt (auch die reellen Zahlen sind eine Teilmenge von C).

Kommentar von ehochicks ,

Okay, dein Tipp hat super geklappt :) Die Eulersche Identität wurde bei uns nur ganz kurz und nebenbei in der Übung erwähnt, deswegen hielt ich das für irrelevant... Wie man sich täuschen kann :D Danke! :)

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