Frage von pauluvo, 3

Gleichung umstellen mit pqFormel?

0=-4.4t³+69.6t²-300t+361

Ich habe diese Gleichung 0 gleichgestellt. Jetzt würde ich natürlich gerne X1 und X2 raus bekommen, aber ich Frage mich wie. Geht das mit der p,q Formel? Oder mit der abc Formel? Ich bräuchte keine Lösung sondern Rechenwege oder Denkanstöße. Vielen Dank schon mal:)

Antwort
von bishare, 3

Das ist eine kubische Gleichung, also gibt es max 3 Lösungen für x

Die kubische Gleichung wird zunächst durch Division mit 4,4 auf die Normalform
x³ + rx² + sx + t = 0 gebracht.

x³ - 15,818181818181815x² + 68,18181818181817x - 82,04545454545453 = 0

Durch die Substitution x = y - r/3 wird die Gleichung in eine reduzierte Form
y³ + py + q = 0 gebracht, in der kein quadratisches Glied mehr auftritt.

(y + 5,272727272727272)³ - 15,818181818181815(y + 5,272727272727272)² + 68,18181818181817(y + 5,272727272727272) - 82,04545454545453 = 0

Die neuen Koeffizienten können bequemer auch direkt berechnet werden:

p = s - r²/3 = -15,223140495867739
q = 2r³/27 - rs/3 + t = -15,722389181066802

y³ - 15,223140495867739y - 15,722389181066802 = 0

Aus der Gleichung liest man also ab:

p = -15,223140495867739 q = -15,722389181066802

Nun muß der Wert R = (q/2)²+(p/3)³ betrachtet werden.

Ist R > 0, so hat die kubische Gleichung eine reelle und zwei komplexe Lösungen,
ist R = 0, hat sie drei reelle Lösungen, von denen zwei zusammenfallen,
und im Falle R < 0 drei verschiedene reelle Lösungen.

Für die ersten beiden Fälle verwendet man die Lösungsformel von Cardano/Tartaglia,
im dritten Fall, dem sogenannten "casus irreducibilis", löst man mithilfe
trigonometrischer Funktionen.

Im Falle dieser Gleichung ist R = -68,8635296427837.

Da R < 0, liegt der casus irreducibilis vor. Man erhält die Lösungen mit
y = 2·kubikwurzel(u)·cos(w/3 + v), wobei u = sqr(-(p/3)³) und cos(w) = -q/(2u) ist,
und v die Werte 0, 120° und 240° annimmt.

cos(w) = 0,687723786064517 u = 11,430744071713587

y = 4,341073062329844
1
y = -3,2143056610511134
2
y = -1,1267674012787325
3

Die Substitution x = y - r/3 wird durch Subtraktion von r/3 rückgängig gemacht.
r=-15,818181818181815 ist der quadratische Koeffizient der kubischen Gleichung.
Damit ergeben sich, der Größe nach geordnet, diese Lösungen:

x = 2,0584216116761564
1
x = 4,1459598714485395
2
x = 9,613800335057116
3

Kommentar von pauluvo ,

Vielen Dank, für diese ausführliche Lösung. Leider dürfen wir dass in unserer Arbeit so nicht rechnen, sondern müssen es zeichnerisch ermitteln, wie ich gerade erfahren habe. Deinen Rechenweg behalte ich mir trotzdem im Hinterkopf, der kann mir bestimmt mal weiterhelfen:)

Antwort
von TheDemander, 1

Polynomdivison

Kommentar von pauluvo ,

hatten wir leider noch nicht

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