Frage von jonsered, 68

Gleichung mit zwei Unbekannten Lösungsweg?

Guten Abend

Eine Kollegin hat mich gebeten, untenstehendes Gleichungssystem mit zwei Unbekannten zu lösen und ihr zu erklären. Ich hatte dieses Thema selbst einmal in der Schule, allerdings ist dies Jahre her und nun verstehe ich die Aufgabe selbst nicht so ganz. Ich wäre euch um die Lösung der Aufgabe mit Lösungsweg sehr sehr dankbar.

  1. --> 10 / (x-2y) + 4 / (2x+3y) = -1

  2. --> -5 / (x-2y) + 8 / (2x+3y) = 3

Vielen Dank für Eure Hilfe!

Freundliche Grüsse

Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Gleichungen, Mathe, Mathematik, 12

Neue Lösung 1. Teil:

Ich substituiere die Nenner:
a = x - 2y
b = 2x + 3y

Damit gewinnen die Gleichungen folgendes Aussehen:

I     10/a + 4/b    =  -1
II    -5/a + 8/b     =   3   | *(-2)

I     10/a + 4/b    =  -1
II    10/a - 16/b   =  -6    |  10/a isolieren

I               10/a   =  -4/b -1
II              10/a   =   16/b - 6

Hier stellt sich heraus, dass es besser ist, die Gleichungen mit dem Gleichsetzungsverfahren zu bearbeiten. Solche Erkenntnisse kommen häufig erst, wenn man schon mit der Rechnerei unterwegs ist.

Ich schreibe dies erst mal weg, dann ist es im System und macht keine Probleme mehr.

Kommentar von Volens ,

Neue Lösung 2. Teil:

10/a = 10/a        daher sind auch die beiden rechten Seiten gleich

-4/b - 1      =  16/b - 6    | b nach links, Zahlen nach rechts
-4/b - 16/b =   1 - 6
       -20/b  =   -5            | Kehrwert
       -b/20  =  -1/5          | *20
          -b    =  -20/5        | kürzen und *(-1)
           b    =   4

Damit habe ich die ganze Arie mit xy glücklich umschifft. Es fehlt noch a. Das hole ich aus der Gleichung I.

10/a + 1    =  -1             | -1
     10/a     =  -2             | Stürzen
      a/10    =  -1/2          | *10
          a     =  -5

Kommentar von Volens ,

Neue Lösung 3. Teil:

Ich resubstituiere jetzt. Es war ja

I     x   - 2y  =  a
II    2x + 3y =  b

Bevor ich a und b einsetze, mache ich die beiden Gleichungen noch für das Additionsverfahren (hier ist es am Platze) gängig, indem ich Gleichung I mit (-2) multipliziere:

I    -2x + 4y = -2a        a ist -5
II    2x + 3y =    b        b ist  4

I    -2x + 4y =  10
II    2x + 3y =    4

Die Gleichungen werden addiert:

              7y = 14   | /7
                y =   2

Jetzt wird y in I (oberste Version) eingesetzt:

          x - 4   =   -5       a war ja -5
               x   =   -1

Es ist vollbracht.

Die Lösungsmenge ist:    IL = {(-1; 2)} 

Kommentar von Volens ,

Ich hoffe, ich habe mich nirgends vertippt. Aber das müsstest du beim Nachrechnen merken, weil es in der übernächsten Zeile dann wieder stimmen müsste.

Ich hatte diesmal nicht online gerechnet, sondern es auf einem Zettel vorbereitet, damit mir das Malheur von heute Nacht nicht wieder passierte.

Ich habe auch die Probe für das Ergebnis gemacht. Sie hat gestimmt. Das kannst du ja gern auch selber nochmal nachvollziehen.

Kommentar von jonsered ,

Wow, du bist ein Genie! Alles sehr klar und unmissverständlich Schritt für Schritt erklärt, nun verstehe ich die Aufgabe. :D

Vielen herzlichen Dank für deine Zeit und Mühe!

LG Jonsered

Kommentar von Volens ,

Bitte, gerne.

Antwort
von Violetta41, 38

Ist 10 eine Angabe einer der Variablen?

Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Gleichungen, Mathe, Mathematik, 25


Wegschreiben hat nicht geklappt.
Ich versuche es im Kommentar nochmal.

Kommentar von Volens ,

Erst das Allgemeine:

http://dieter-online.de.tl/2-Gleichungen-mit-2-Unbekannten.htm

Da aber Brüche in der Aufgabe sind und zudem die Unbekannten im Nenner, werden wir uns für das Additionsverfahren entscheiden müssen.


 I        10 / (x-2y) + 4 / (2x+3y) = -1          | Hauptnenner                                    
 II       -5 / (x-2y) + 8 / (2x+3y)  = 3          | dto.



Kommentar von Volens ,

Immer wenn es drauf ankommt, spielt der Editor nicht mit. Ich hatte nämlich die Gleichungen fertig, aber irgendwelche Steuerzeichen müssen den Editor geärgert haben, sodass er nun einen Teil zurückschreiben wollte.

Ich werde versuchen, die Teile sukzessive hochzuladen und auch gleich zu kommentieren. Denn deine Gleichungen sind ein ziemlicher Hammer. Wenn mich natürlich jetzt jemand überholt, hast du dein Ergebnis auch. Damit muss ich dann leben.

Kommentar von Volens ,

Der will immer noch nicht.

Das habe ich noch nicht erlebt.

Kommentar von Volens ,

Es ist eine längere Rechnung, und am Ende steht

x = -1  und  y = 2.

Das alles jetzt nochmal einzutippen, ist mir um diese Uhrzeit etwas viel. Aber ich habe ja den Link oben bekanntgegeben. Er enthält eine Beispielaufgabe, die dich an sich befähigen sollte, die Lösungen zu bekommen. Zumindest kann du es daran üben, und dann kommt deine Erinnerung auch wieder.

Bei deiner Aufgabe muss man höllisch aufpassen, dass man von Zeile zu Zeile alles mitbekommt, deshalb würde ich einen guten Taschenrechner als Hilfe empfehlen.

Kommentar von jonsered ,

Erstmal vielen Dank für die rasche Antwort. :D

Ist es korrekt, erst beide Seiten mit den Nennern zu multiplizieren, sodass diese dann auf der linken Seite des Gleichheitszeichens wegfallen? Allerdings habe ich dann das Problem, dass ich auf der rechten Seite x und y multiplizieren müsste, was anschliessend xy gäbe. Irgendwie komme ich noch nicht so recht drauf...

Kommentar von Volens ,

Das ist richtig.
Und genau das bereitet auch die Probleme, die dann so langwierig wurden, dass GF offenbar die Rückschreibadresse verloren hatte und ich nachher gar nicht mehr mit der Einstellung zu Rande kam.

Glücklicherweise, - wie ich heute sagen muss, denn über Nacht ist mir eine Substitutionslösung eingefallen, die ich gleich hochladen werde. Sie ist kürzer und übersichtlicher als die andere, bei der ich die Klammern habe mitschleppen müssen. Auch das Problem mit xy taucht nun nicht mehr auf. Aber die alte Lösung brauche ich jetzt gar nicht mehr einzutippen, um sie zu präsentieren. Die neue Lösung ist allerdings immer noch lang genug, aber dennoch deutlich kürzer. Der Grund ist, dass die Nenner in beiden Aufgabenzeilen gleich sind. Trotzdem ist es mir gestern nicht eingefallen zu substituieren.

Demnächst geht's los.

Expertenantwort
von Ellejolka, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 18

mal Hauptnenner nehmen; dann

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