Gleichung lösen mit Potenzen?

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7 Antworten

 Gebildete Menschen würden sagen: Die Nullstellen bestimmen von einem Polynom 3. Grades.

  Du hast die ===> primitive Form ( PF ) gegeben ( ganzzahlig gekürzt )  die uns unten beschäftigen wird

 f ( x ) = b3 x ³ + b2 x ² + b1 x + b0  ( 1a )

    b3 = 4 ; b2 = ( - 20 ) ; b1 = 33 ; b0 = ( - 18 )    ( 1b )

    Dem steht gegenüber die Normalform

 f ( x ) = x ³ + a2 x ² + a1 x + a0  ( 2a )

   a2 = ( - 5 ) ; a1 = 33/4 ; a0 = ( - 9/2 )    ( 2b )

  Ich lege größten Wert darauf, dass ihr diese Konvention von Anfang an beherzigt: Die Koeffizienten der Normalform heißen immer a ( i ) und diejenigen der PF b ( i )

   Jetzt tritt erst mal einen Schritt zurück; aus der Algebravorlesung weiß man zur Not noch, dass sich für ein kubistisches Polynom die Alternative ergibt: Entweder es ist prim, das ===> Minimalpolynom seiner drei Wurzeln. Oder aber es spaltet einen rationalen Linearfaktor ( RLF ) ab - seien wir Optimisten.

   Schau mal, was Pappi alles weiß

https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_%C3%BCber_rationale_Nullstellen

   Der Satz von der rationalen Nullstelle ( SRN )

    Junge du lebst in aufregenden Zeiten; dieser SRN kann nämlich nicht viel älter sein als 1990 ( Lange genug hat es ja gedauert ) Sich dann obendrein hoch hinzustellen wie Wiki und zu posaunen, der SRN gehe auf Gauß zurück, stellt eine infame Fälschung dar. Als Fachmann für Fälschungen gehe ich zunächst auf die formal historischen Aspekte der Fälschung ein, um mich hernach dem matematischen Inhalt zuzuwenden.

   Von Zeit zu Zeit kommt die Frage; was passiert, wenn ich wirklich mal was Sensationelles entdeckt habe? Siehste doch; sie sagen, Gauß habe das alles auch schon gewusst ...

   Gauß ist doch Kult; warum hat dein Lehrer noch nie vom SRN vernommen? Ernst zu nehmende Algebrabücher sind alleine Artin und v.d. Waerden ( 1930 ) ; dein Lehrer weiß schon Bescheid. Der soll mal abklären, ob diese beiden Herrschaften überhaupt etwas vom SRN wissen ...

   Typisch für Lehrer wie Schüler ist ja ein Verhalten, für das mir kein Adjektiv einfällt - schlag mal eins vor. Zunächst mal ignorieren mich beide Parteien ( In dem Konkurrenzportal ===> Lycos arbeite ich wesentlich näher am Schülert als hier. )

   In Lycos hast du die Möglichkeit, schwarze Listen zu führen, um mich daran zu hindern, deine Fragen zu beantworten bzw. zu kommentieren. Immer wieder setzen mich Schüler auf die schwarze Liste, so bald ich mit dem SRN ankomme - SOO schlau sind die auch, dass ja dann der Pauker merkt, dass sie ihre Hausaufgaben im Internet abgeschrieben haben ...

   Den Schülern  geht es weder darum, etwas zuzulernen noch, ihre Kameraden oder Lehrer schlauer zu machen.  In autoritärem, voraus eilendem Gehorsam wollen sie nur plappern, wovon sie glauben, dass ihr Lehrer es hören will.

    User " Ikro " war Mathe Studienrat. Eine der leichtesten Übungen wäre das gewesen, hätte der sich aufs hohe Ross setzen können

   " SRN? Sooon Baat, mein Junge. Hat schon de jroße Jauß jesaht. "

  " Schreibt man Gauß mit G oder J ?"

  " Mit Jee; immer mit Jee ... "

   Dazumal wusste ich aber noch gar nichts von meinem Glück - schließlich fängt ja jeder mal klein an. Weder wusste ich, dass das Dings auf den Namen SRN hört noch, dass irgendjemand auf die famose Idee verfallen war, diesen SRN Gauß in die Schuhe zu schieben.

    Dumm gelaufen; der Direx wusste ja auch nicht, was mir der Ikro antworten sollte. Und so erzählte mir der Ikro in einem Antwortkommentar einen Witz von drei Intercity Reisenden, die sich gemeinsam im WC einschließen.  Der Witz bedeute, dass er, Ikro, sehr viel Anung von Mathe habe und ich keine ...

   User Geejay bei Lycos war mir Haus hoch überlegen; der hat eine eigene Homepage. Der unternahm mal den Versuch, den SRN in ein Internet Matheforum zu stellen mit dem Erfolg, dass die Lycos Moderatoren besagten SRN für ihr GEISTIGES EIGENTUM erklärten; es sei nicht zulässig, den SRN in fremde Portale zu stellen ...

    EIN Student ließ sich dann doch vernehmen; mit FASSUNGSLOSEM ERSTAUNEN habe sein Assistent die Aussage des SRN zur Kenntnis genommen. Hier kennste den?

 " Da staunt der Laie; und der Fachmann wundert sich. "

  Im Übrigen ist Mathelounge ein kommerzielles Nachhilfeportal, wo selbst Studenten ihre Aufgabenblätter posten.  Ein Blick genügt zu erkennen, dass kein Prof je vom SRN vernommen hat.

   Aber das sind nur rein formale Betrachtungen, so wie die Begutachtung ( Man sollte wohl sagen: Beschlechtachtung ) eines gefälschten Rembrandt mit dem oberflächlichen Augenschein beginnt. Doch jetzt zum matematischen Inhalt.

   Wiki besitzt aller höchstes Niveau; besser als die meisten Lehrbücher. Und da fällt beispielsweise auf: Absolut KEIN Portal erkennt, dass sie SRN Aussage Sinn voll doch  nur auf PF angewendet  werden kann ( warum? ) Die Quellenlage ist eindeutig; Wiki u.a. gehen gar so weit, Polynome mit gebrochenen ( ! ) Koeffizienten zuzulassen.

   Statt dieser unerträglichen Sülze hätte EIN Satz genügt

  " Gegeben sei ein primitives Polynom. "

   Hätte der SRN wirklich wie behauptet ehrwürdige 200 Jahre auf dem Buckel. Längst wäre er Wasser dicht abgeklopft.

   Ich weiß nicht, ob du diesen Witz kennst

   " Und? Was sagt uns das? Nichts.

     Und was haben wir davon? Wieder nichts ... "

   Mit Recht erwartest du von mir, dass ich jetzt irgendeine Teorie vorlege, wie man diese Nullstellen durch irgendwelche Teilbarkeitsbedingungen eingrenzen kann; und das geht. Dazu bedarf es aber eines sehr kühnen Ansatzes; und zwar postuliere ich, dass (1;2a;b ) nicht nur einen SRN abspaltet, sondern vollständig ZERFÄLLT .

   Was wir hier aufziehen, ist ein Handshake zwischen dem SRN von ( 1ab ) so wie dem Satz von Vieta in ( 2ab ) Vieta behauptet z.B.

  a0 = - x1 x2 x3 = ( - 9/2 )    (  3a  )

  

   Der konventionellen Auffassung nach  könnten x1;2;3  so ziemlich alles sein - selbst wenn sie alle drei rational wären. Das stimmt aber nicht. Seien wie üblich

   x1;2;3 := p1;2;3 / q1;2;3 € |Q   ( 3b )

    in grkürzter Darstellung gegeben. Dann wird ( 3a ) verschärft durch die beiden Gilgamesch pq-Formeln

   p1 p2 p3 = - b0 = 18   (  3c  )

   q1 q2 q3 =   b3 =   4   (  3d  )

   Die Lösung ist " quantisiert " Hier kommen wir doch vom Regen in die Traufe; sehr verheißungsvoll klingt das alles nicht.  ( 3d ) bietet uns entweder zwei Ganze und ein Viertel oder zwei Halbe und ein Ganzes.

   Aus gegebenem Anlass klären wir erst mal die Vorzeichen ab; hierfür gibt es die cartesische

Vorzeichenregel ( CV )

   Tröste dich; selbst Studenten enthält man die vor.

   " Drei Mal Plus. "

    Bei der Gegenprobe für x < 0 brettert die CV auf einen Entartungsfall

   " Hier wie soll denn eine Summe aus lauter negativen Termen Null werden; haha. "

   In Wirklichkeit haben wir mit der CV bereits die erste Hürde genommen. Bei 3. Grad sind nämlich schon Polynome denkbar, wo du bereits mittels CV widerlegen kannst, dass sie zerfallen.

   Frohe Botschaft; Polynom ( 1;2 ) kann überhaupt keine Viertel als Wurzeln haben - unabhängig davon, ob es nun RLF abspaltet oder nicht.

   Woher weiß ich jetzt das auf einmal wieder?

   Was jetzt kommt, ist der Nagel auf Gauß seinen Sargdeckel. Noch in der ersten Woche im Jahre 2011, als ich von diesem SRN erfuhr, gelang mir eine phänomenale Entdeckung; hinter dem Hornerschema scheint sich doch ein tiefere Sinn zu verbergen.

   Zunächst empirisch fiel mir auf, dass die von einer Nullstelle generierte Hornerfolge grundsätzlich ganzzahlig ist; und das soll in zwei Jahrhunderten niemandem aufgefallen sein ( ??? !!! ) Wiki weiß davon auch nix ...

  Ein Kommentar schmähte mich mal, die Fieldsmedaille gebe es wohl nicht für den Beweis des SRN ( Aktion " Ei des Kolumbus " ) also wenn ich mir diesen Hornereffekt so ansehe; die Sache ist soo einfach wohl auch wieder nicht ...

   Hast du verstanden, was du jetzt machen musst?  Auf Viertel wenn du testest, BRICHST DU AB , so bald die Hornerfolge auf eine Zahl brettert, die nicht teilbar ist durch 4 . Dem entsprechend gehen wir aus von x0 = n / 4  mit n = ungerader Teiler von 18; also 1 , 3 oder 9 ( Ansonsten wäre die Darstellung in ( 3a ) ja nicht gekürzt. ) Und jetzt durchlaufen wir das Schema in ( 1ab )

  p3 ( f ) = b3 ( f ) = 4      (  4a  )

  p2 ( f ; x0 ) = p3 x0 + b2 ( f ) =   ( 4b )

   = 4 * ( n / 4 ) - 20 = n - 20   ( 4c )

    Nun hatten wir gesagt, n ungerade. Dann ist aber auch ( n - 20 ) ungerade und schon gar nicht durch 4 teilbar.

   Schach-und Gospieler müssten hier doch eine Menge Spaß haben. In ( 3d ) ermäßigt sich das Problem auf ein Ganzes, zwei Halbe. Die Teiler von 18 lauten

    n = 1 , 2 , 3 , 6 , 9 , 18   (  5a  )

     Beginnen wir doch damit, diese ganzzahligen Wurzeln zu raten - schon wieder zu pessimistisch. Die 18 hat die Zerlegung 18 = 2 * 3 ² ; und ungerade Teiler sind nicht möglich:

   n = 3 ^ 0 = 1 ; 3 ^ 1 = 3 ; 3 ² = 9  ( 5b )

   Denn da 18 den Primfaktor 2 enthält, wäre das Komplement auf eine ungerade Zahl immer gerade; und die Halben wären nicht gekürzt. Mal ein Beispiel; wenn x1 = 3 , müsstest du die 6 zerlegen. Das ergäbe x2 = 2/2 ; x3 = 3/2 bzw. x2 = 1/2 ; x3 = 6/2 - beides unsinnig. Die Liste der geraden Teiler von 18

 n = 2 * 3 ^ 0 = 2 ; 2 * 3 ^ 1 = 6 ; 2 * 3 ² = 18  ( 5c )

   Equal goes it loose; Diskriminante ist immer Vieta a2 in ( 2b )

  a2 = - ( x1 + x2 + x3 )     (  6a  )

  

   x1 = 1/2 ; x2 = 2 ; x3 = 9/2 ; a2 = ( - 7 )    ( 6b )

   x1;2 = 3/2 ; x3 = 2 ; a2 = ( - 5 )    ( 6c )   ; ok

   x1 = 1/2 ; x3 = 3/2 ; x3 = 6 ; a2 = ( - 8 )    ( 6d )

   x1;2 = 1/2 ; x3 = 18 ; a2 = ( - 19 )    ( 6e )   ; ok

   Einzig ( 6c ) überlebt; fehlt noch die Probe auf Vieta a1 in ( 2b )

 a1 = ( x1 + x2 ) x3 + x1 x2 =   (  7a  )

      = 2 ( 3/2 + 3/2 ) + 3/2 * 3/2 = 33/4   ( 7b )    ;  ok

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Ich scheue ein wenig davor zurück, das einfach auszurechnen, weil du davon eigentlich nichts hast. Und bei der nächsten Arbeit wirst du's brauchen.

Auf alle Fälle solltest du erst einmal durch den Koeffizienten von x³ (das ist 4), dividieren, um die Anzahl der möglichen Lösungen herabzusetzen.
Dann müsstest du eine Lösung "erahnen" (probieren!). Es gibt eine ganzzahlige.
Aus x₁ machst du den Linearfaktor (x - x₁) und nimmst ihn als Divisor bei einer Polynomdivision.

Wenn du dann nicht weiter weißt, schrei(b) um Hilfe. Kommentar!

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Unter den Teiler von 18 ( 1, 2, 3, 6, 9, mit Vorzeichen Plus und auch Minus) nach einer ganzen Zahl suchen die eine Lösung dieser Gleichung ist. Man findet relativ schnell daß 2 eine Lösung ist. also x1 = 2

Polynom durch (x-2) teilen.

Die anderen Lösungen sind dann z.B. mit pq-Formel zu ermitteln.

LG,

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Die Exponenten mit einem ^-Zeichen angeben:

4x^3 - 20x^2 +33x - 18 = 0

Wenn Du die Gleichung so im Computer (z. B. Wolframalpha.com ins Suchfeld) eingibst, siehst Du die Kurve und die Nullstellen.

Ich würde auf gar keinen Fall versuchen, so eine Gleichung von Hand zu lösen: Dies wäre zu Fehleranfällig und dauert auch zu lange. Die beiden Lösungen sind x=3/2 und x=2.

Wichtiger als das Ausrechnen (dies macht ja der Computer fehlerfrei und rasch) ist die Probe: Setze die Gefundenen Lösungen in die Original-Problemstellung (Brückenbau, Statik, Optimierungsproblem, ...) ein und prüfe genau, ob Deine Lösungen einen Sinn ergeben. Bei Gleichungen mit mehreren Lösungen sind oft einige Lösungen in der Original-Problemstellung nicht möglich (meist kann man die negativen Lösungen oder die Null-Lösung ausschließen).

Die Probe ist für mich aber in Deiner Aufgabenstellung nicht möglich, denn Du gibst das Problem ja nicht an, sondern lediglich die gefundene Gleichung; und die Gleichung zu Lösen stellt ja heutzutage kein Problem mehr dar.

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Durch Einsetzen eine Nullstelle raten, danach Polynomdivision

4x³-20x²+33x-18

=(x-2)(4x²-12x+9)

=4(x-2)(x²-3x+9/4)

=4(x-2)(x-3/2)²

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Kommentar von Volens
09.09.2016, 11:50

Gut, dass du auch noch die 4 herausdividiert hast.
Das ist eine Hilfe für den FS, weil die Anzahl der Lösungen dieselbe bleibt, die Koeffizienten aber kleiner sind.

0

Das wird etwas schwierig, eine Gleichung 3. Grades mit einer Konstanten. Du musst die 1. Nullstelle mit dem Hornerschema durchspielen bzw. "erraten"! Die anderen beiden mit polynomdivision oder pq-Formel.

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Das ist ein Polynom 3. Grades und um hier die Nullstellen zu bestimmen, musst du die erste Nullstelle erraten (ganzzahlige Teiler des Absolutglieds (hier -18) klappen oft) und dann eine Polynomdivision

4x³-20x²+33x-18 : (x-x_n), xn ist hier die erratene Nullstelle,

durchführen. Da wird wohl ein quadratisches Polynom rauskommen, von dem du mit der pq- Formel die anderen Nullstellen bestimmst.

Oder du gibst die Funktion in nen graphikfähigen Taschenrechner ein und lässt dir die Nullstellen ausgeben. Ich weiß ja nicht, was ihr an Hilfsmitteln benutzen könnt/sollt.

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