Gleichung für PQ-Formel umstellen?
Ich hänge an folgender Gleichung fest, die ich so umstellen soll, dass man die PQ-Formel anwenden kann: 1,25=(x^2)/(1-x^2)
Wäre nett, wenn mir da jemand auf die Sprünge helfen könnte. Ich hatte den folgenden Ansatz: (1,25^2)=(x^4)/((1-x^2)^2) drehe mich aber immer im Kreis :(
4 Antworten
Du musst die Form 1*x²+px+q=0 erreichen.
Damit das x² aus dem Nenner verschwindet, erst einmal mit dem gesamten Nenner multiplizieren, ergibt:
1,25(1-x²)=x² |Klammer lösen
1,25-1,25x²=x² |jetzt alles auf eine Seite, am Besten nach rechts, damit Du
schon einmal den Koeffizienten von x² positiv hast und
nicht abschließend durch eine negative Zahl teilen musst;
führt öfter mal zu Vorzeichenfehlern!
0=2,25x²-1,25 |jetzt durch 2,25 teilen, damit oben genannte Form erreicht
wird
0=x²-5/9 => p=0 und q=-5/9
Da hier kein p auftaucht, kannst Du auch die 5/9 wieder auf die andere Seite bringen und einfach die Wurzel ziehen...
Achja: Du hast versucht, mit Quadrieren weiter zu kommen. Da musst Du vorsichtig sein, denn Quadrieren ist keine Äquivalenzumformung, d. h. Du veränderst evtl. die Lösungsmenge. Daher in solchen Fällen (wenn Du quadierst) am Ende die Lösungen an der Ursprungsgleichung prüfen!
Du hast beim Wurzelziehen immer zwei Lösungen mit Plus und mit Minus. Mache also eine Fallunterscheidung: 1,25=(x^2)/(1-x^2) und -1,25=(x^2)/(1-x^2)
Was das Umformen angeht: Multipliziere die Gleichung mit dem Nenner durch!
Laut Fragesteller ist doch der ursprüngliche Ansatz (1,25^2)=(x^4)/((1-x^2)^2) und dann hat er die Wurzel gezogen. Beim Wurzelziehen erhält man eine Fallunterscheidung.
Danke!
Der Ansatz mit +1,25 und -1,25 hat tatsächlich ohne PQ-Formel zu den zwei richtigen Lösungen geführt.
Allerdings soll man aus der oben genannten Gleichung auf folgende Form kommen, was mir immer noch unverständlich ist:
Aus 1,25^2 = (x^4)/((1-x^2)^2) wurde:
0 = x^4 - [(2*1,25²)/(1,25²-1)] * x² + [1,25²/(1,25²-1)]
womit p und q feststehen. Aber wie ich dahin komme weiß ich immer noch nicht. Knackpunkt ist im Grunde das x² aus dem Term (1-x²)² herauszulösen und dann in der Gleichung allein stehen zu haben.
1.25 = x²/(1-x²) das jetzt mit dem Nenner multiplizieren:
1.25*(1-x²) = x²
1.25-1.25x² = x²
1.25 = 2.25x²
0 = 2.25x²-1.25
0 = x² - 5/9
Wichtig bei der Umformung ist nur, dass die Zahl 1 nicht in der Lösungsmenge enthalten sein kann, weil sie nicht in der Definitionsmenge ist.
Bei dem Beispiel wäre 1 ohnehin nicht drinnen aber immer Merken dass die Lösungsmenge eine echte Teilmenge der Definitionsmenge sein muss.
1,25 = x²/(1-x²)
1,25 * (1-x²) = x²
1,25 - 1,25x² = x² | +1,25x²
2,25x² = 1,25
dafür brauchst du aber keine pq Formel
Das verstehe nicht einmal ich trotz Mathe LK und permanenter 2.
Was denn bitte für eine "Fallunterscheidung"?
Wenn man am Ende die PQ-Formel anwendet zieht man ja sowieso die Wurzel und erhält 2 Lösungen, sofern die Diskriminante postitiv ist. Ist sie 0, gibt es 1 Lösung. Ist sie negativ, ist das Ergebnis zumindest in der Schulmathematik nicht definierbar und keine reele Zahl.
Wieso man da jetzt ein minus für irgendeine Fallunterscheidung machen soll, verstehe ich beim besten Willen nicht?!