Frage von mtbxx, 14

Gleichung eines Sattelpunktes, das gleiche wie beim Wendepunkt?

Eine Funktion hat bei P(1/0) einen Sattelpunkt. Ist das dann f''(1)=O? Oder wie schreibt man das als Gleichung auf?

Antwort
von Peter42, 14

ein Sattelpunkt ist ein spezieller Wendepunkt, nämlich einer mit Steigung = 0 (wie ein Extrempunkt. Es gilt dort also f'' = 0 (für den Wendepunkt) und gleichzeitig auch f' = 0 (für die Steigung 0)

Kommentar von mtbxx ,

Bedeutet das, ich bekomme mit der Information 2 Eigenschaften der Funktion raus?

Kommentar von Peter42 ,

korrekt - ein Sattelpunkt ist halt nicht "irgendein" Wendepunkt, sondern ein ganz spezieller.

Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Gleichungen, Mathe, Mathematik, 5

Mit nur einem Sattelpunkt und einer einzigen weiteren Angabe über die Funktion bekommst du bei Steckbriefaufgaben jede Gleichung 3. Grades heraus, weil der Sattelpunkt allein 3 Gleichungen liefert:

  1. Eine Gleichung entsteht durch die Koordinaten des Punkts.
  2. Die zweite Gleichung entsteht durch f '(x) = 0
  3. Die dritte Gleichung entsteht durch f ''(x) = 0 
  4. Die vierte Gleichung entsteht durch einen weiteren Punkt, eine Steigung oder sonst etwas, das zu einer Gleichung führt (Tangente, Sekante etc.)
Expertenantwort
von Willibergi, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 5

Wenn die Funktion bei (1 | 0) einen Sattelpunkt hat, gilt:

f'(1) = 0
f''(1) = 0
f'''(1) ≠ 0

Sattelpunkte werden auch Horizontalwendepunkte genannt, denn dieser Ausdruck beschreibt besser, was ein Sattelpunkt ist: Ein Wendepunkt, bei dem die Steigung null ist. ;)

Ich hoffe, ich konnte dir helfen; wenn du noch Fragen hast, kommentiere einfach. 

LG Willibergi

Expertenantwort
von fjf100, Community-Experte für Mathe, 9

Ein "Sattelpunkt" ist ein spezieller Wendepunkt.Die Tangente liegt hier parallel zur x-Achse und hat die Steigung m=0

Bedingung Wendepunkt f´´(x)=0 und f´´´(x) ungleich Null

für den Sattelpunkt gilt nochmal zusätzlich f´(x)=0

Antwort
von gilgamesch4711, 13

  Ich muss das immer wieder richtig stellen; mit Sattelpunkten ( SP ) bist du in der Schule überhaupt nicht befasst. Ein Sattel ist eine ( mindestens ) zweidimensionale Fläche, die in einer Richtung ein ( lokales ) Maximum und gleichzeitig in einer anderen ein Minimum hat. Damit erweist sich ein SP als VERALLGEMEINERTES EXTREMUM .

   Was du meinst, ist etwas ganz anderes: ein ===> Terrassenpunkt ( TP ) Übrigens; es gibt nur hinreichende, keine notwendigen Bedingungen.

   Eine Nullstelle von gerader Ordnung ist immer ein lokales Extremum; das Vorzeichen der  ersten nicht verschwindenden Ableitung bestimmt in üblicher Weise, ob Maximum oder Minimum. Erfahrungsgemäß haben Schüler immer so rätselhafte Schwierigkeiten einzusehen, dass das Minimum von f ( x ) = x ^ 4 712 durch eben jene Regel abgedeckt wird.

   Gegenbeispiel wäre etwa das Minimum der Betragsfunktion, da diese Funktion in ihrem Minimum überhaupt nicht differenzierbar ist. Oder stell dir vor, die ersten neun Ableitungen verschwinden, die 10. existiert aber gar nicht. Auch dann ist die Regel nicht anwendbar; desgleichen, wenn die Funktion zwar unendlich oft differenzierbar ist, aber ihre sämtlichen Ableitungen verschwinden.

   Und was ist mit einer ( mehrfachen ) Nullstelle ungerader Ordnung? Das ist immer ein TP .

Kommentar von Wechselfreund ,

Addressat wäre sicher der Mathematik unterrichtende. "Sattelpunkt" und "notwendige Bedingung" sind auf der Schule gängige Begriffe, und ich denke, es ist für einen Schüler nicht hilfreich, ihn da zu verunsichern.

Oder hier

https://de.wikipedia.org/wiki/Sattelpunkt


Und was ist mit einer ( mehrfachen ) Nullstelle ungerader Ordnung? Das ist immer ein TP .

f(x) = (x-3)³ hat demnach bei 3 einen Tiefpunkt?!



Kommentar von gilgamesch4711 ,

 Wiesp hat denn ( x - 3 ) ³ ein Minimum? Lies doch erst mal, was ich geschrieben habe.

   Du kannst unmöglich her gehen und den Begriff SP für mehr Dimensionen anders definieren als für  eine. Hinreichende Bedingung für Minimum: Die ===> Hessematrix H ist positiv definit; Maximum entsprechend. Im eindimensionalen Fall tritt y " an die Stelle von H .

   Hinreichende Bedingung für SP: H ist indefinit. Hier wie soll denn eine Zahl wie y " überhaupt indefinit sein? Weißt du überhaupt, was das ist: indefinit?

Kommentar von Wechselfreund ,

Wiesp hat denn ( x - 3 ) ³ ein Minimum? Lies doch erst mal, was ich geschrieben habe.

Geschrieben hast du:

Und was ist mit einer ( mehrfachen ) Nullstelle ungerader Ordnung? Das ist immer ein TP .

Bei f(x) = (x-3)³ liegt nach meiner Ansicht bei x = 3 eine Nullstelle 3. Ordnung vor, also eine (mehrfache) Nullstelle ungerader Ordnung. Dort ist aber sicher kein TP...

Kommentar von gilgamesch4711 ,

Klar ein TP und kein SP - wie ich schon sagte.

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