Frage von ParryPotter, 22

Gilt für jede natürliche Zahl n zur Basis b, dass n*s=b^r oder n*s=(b^r)-1 oder n*s=(b^r)+1 erfüllt werden kann, wobei s und r natürliche Zahlen sind?

Hallo,

ich arbeite derzeit an einem mathematischen Essay (12. Klasse) für das IB, in dem ich mich mit Teilbarkeitsregeln beschäftige, die die Quersumme benutzen. Da viele der Techniken nur möglich sind, wenn der zu testende Nenner durch die natürliche Zahl 1 über oder unter einer Potenz der Basis teilbar ist, wäre es für mich interessant zu wissen, ob dies für alle natürlichen Zahlen, die nicht durch eine Potenz der Basis teilbar sind, der Fall ist. Ich komme hierbei selbst leider nicht weiter, dies zu beweisen oder zu wiederlegen.

Mir wäre sehr geholfen, wenn mir jemand bei meinem Problem weiterhelfen würde.

Mit freundlichen Grüßen,

Johannes

Expertenantwort
von PWolff, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 4

Gegenbeispiel: b = 10, n = 15.

15 s kann nie eine Potenz von 10 sein, da keine Potenz von 10 durch 3 teilbar ist.

15 s ist auch immer kongruent 0 oder kongruent 5 modulo 10, während 10^r-1 kongruent 9 modulo 10 (r>0) und 10^r+1 kongruent 1 modulo 10 (r>0) ist.

Falls n teilerfremd zu b ist, gibt es allerdings ein r und ein s, sodass n * s = b^r - 1 ist. (Das merkt man daran, dass man bei der "schriftlichen Division" irgendwann auf eine Periode stößt, die direkt hinter dem Komma anfängt.)

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