Frage von Castella, 34

Gilt bei einer Binomialverteilung mit Trefferwahrscheinlichkeit p, Trefferzahl k und n Versuchen folgende Formel: P(a<=k<=b) = P(a<=k) * P(k<=b)?

Wenn diese Formel gilt, sollte man sie beweisen können. Mit Computer-Systemen (EXCEL, DEREIVE) ergeben sich immer (minimale) Unterschiede. Sind das Rundungsfehler oder ist die Formel falsch?

Antwort
von MeRoXas, 15

Richtig ist es (meines Erachtens nach) so:

P(a<=k<=b) = P(X<=b)-P(X<=a-1)

Kommentar von Castella ,

Danke! 

Ja, das ist die übliche Berechnung. Die vorgeschlagene Formel könnte man so interpretieren:

Die Trefferzahl muss größer als a sein und auch kleiner als b. Also wird multipliziert. 

Wenn die Formel falsch ist, warum produziert sie dann so sehr nahe Ergebnisse?

Kommentar von MeRoXas ,

Ich schätze mal Zufall.

Wie groß sind denn die durchschnittlichen Abweichungen in Prozent?

Kommentar von kreisfoermig ,

noch genauer:

ℙ[a≤K≤b] = ℙ[K≤b & K≥a]
=* ℙ[K≤b] – ℙ[K≤b & NICHT(K≥a)]
= ℙ[K≤b] – ℙ[K≤b & K<a]
= ℙ[K≤b] – ℙ[K<a]

* Hier wird das Additivitätsaxiom angewandt: ℙ[E] = ℙ[E∩F] + ℙ[E∩~F].

ACHTUNG: die Zufallsvariable schreibt man (bis auf etwa griechische Buchstaben) immer groß: K, nicht k.

Da K nur ganzzahlig ist, stimmen die Formeln natürlich überein: ℙ[K<a] = ℙ[K≤a–1]. Man soll nichtsdestotrotz sehr vorsichtig sein. Hätte man statt a ∈ ℕ  eine Zahl wie = 7,5 verwendet, dann wäre das a–1 nicht richtig.

Deswegen sollte man deine Formel lieber nicht auswendig lernen (wenn man sie an der Stelle erzeugt, ist das ja was anderes). Als Faustregel gilt: beim auswendigen Lernen immer möglichst verallgemeinerten Kenntnisse bevorzugen.

Antwort
von iokii, 11

Die Formel ist falsch. Die Ereignisse a<=k und k<=b sind sicherlich nicht stochastisch unabhängig.

Kommentar von Castella ,

Ja, danke, das denke ich auch. Warum dann so nahe Ergebnisse?

Kommentar von iokii ,

Vermutlich Zufall.

Kommentar von iokii ,

Für p=1/2, a=1,b=1 und n=2 sollte 50% rauskommen, deine Formel gibt aber 56,25%, allzu nah ist das nicht dran.

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