Frage von 96dominik712, 50

Gibt es R-lineare Abbildungen mit gegeben Vektoren, die wiefolgt gegeben sind?

Hallo, ich bräuchte von euch mal einen Denkanstoß oder einen Tipp zur Methode.

Meine Aufgabe lautet:

Gibt es R-lineare Abbildungen f: R^3 -> R^3 mit f(ai)=bi für i=1,2,3, wobei ai und bi wie folgt gegeben sind? a1= (1,1,0) , a2=(0,1,1) , a3=(1,0,1) , b1=(5,7,3) , b2=(11,25,2), b3=(19,1,12).

Ich möchte keine Lösungen, aber ich brauche unbedingt eine Methode/Vorgehensweise, da ich keine Ahnung habe, wie ich vorgehen muss... Kann mir das bitte einer erklären?

Gruß Dominik

Antwort
von Orsovai, 31

Hallo,

prüfe das Ganze einfach direkt nach. Die Abbildung soll jedes a_i auf b_i abbilden. Ist dann f(z(a_i+a_j))=zf(a_i)+zf(a_j)? Für z aus R?

Kommentar von 96dominik712 ,

Wie prüfe ich das denn mit den gegebenen Vektoren? Blicke bei dem Thema noch nicht ganz durch...

Antwort
von Joochen, 18

Setze Matrix A aus den Spaltenvektoren ai zusammen, dito B aus bi. Die gesuchte Abbildung ist durch die Matrix M gegeben als M A = B.

Du findest M als M = B A^(-1). Das geht, denn det(A) = 2 ungleich Null.

Kommentar von Rowal ,

Zweifellos das eleganteste. Das ist ja der Witz der Matrizenrechnung, dass sich die linearen Abbildungen durch Matrizen darstellen lassen. Die Matrix M stellt die gesuchte lineare Abbildung dar.

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