Frage von Tebatibbas1234, 21

Gibt es Nullstellenformen bei Funktionen größer 2. Grades?

Wenn ja, wie berechne ich diese? Habe im internet nur welche für quadratische funktionen gefunden und würde gerne wissen, wie es bei 3. grades oder höher ist

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathe, Mathematik, Schule, 10

Hallo,

mit Hilfe der Cardanischen Formeln kannst Du Polynomgleichungen 3. und 4. Grades lösen. Dazu mußt Du Dich allerdings auch mit komplexen Zahlen auskennen.

Für Schüler reicht es, bei einer Funktion 3. Grades eine Nullstelle zu raten (ist fast immer ein Teiler des absoluten Gliedes), danach eine Polynomdivision durchzuführen und die quadratische Gleichung, die übrigbleibt, nach der pq-Formel oder ähnlichen Verfahren zu lösen.

Gleichungen 4. Grades liegen in der Schule häufig als biquadratische Gleichungen vor, die nur gerade Exponenten aufweisen. Durch die Substitution x²=u lassen sich daraus quadratische Gleichungen machen.

Ansonsten fehlt das absolute Glied, so daß ein x ausgeklammert werden kann.

Ab dem 5. Grad helfen nur noch Näherungsverfahren wie das Newton-Verfahren, das auch durchaus von Schülern angewendet werden kann.

Herzliche Grüße,

Willy

Antwort
von gilgamesch4711, 5

  Dies ist Teil 2 meiner Antwort; er ist aber selbst erklärend auch ohne Bezug auf Teil 1 . Ich möchte mit einer autobiografischen Einzelheit beginnen, die scheinbar nichts mit deiner Frage zu schaffen hat.

   Als ich Neun war, schrieb ===> Michael Ende seinen Millionenseller " Jim Knopf " für mich ganz allein; dafür gibt es einen Kronzeugen, den Vater meines Mitschülers " Mike "

   Genau wie heutige Kinder mit ihren Altersgenossen über Harry Potter diskutieren und Pokemon, so wollte ich die Klasse für " mein " Buch Jim Knopf intressieren, das ja immerhin ein Preisgeld von 5 000 DM gewonnen hatte - mir schlug eisiges Schweigen entgegen. Und Mikes Vater machte sich gar zum Wortführer der Anti-Jim-Knopf-Phalanx; da er zu feige war, mich zu sich nach Hause einzuladen, ließ er mir seine Ansichten durch seinen Sohn bestellen ( im Folgenden stark gekürzt )

   " Mir fiel es wie Schuppen von den Augen; Jim Knopf Lesen bedeutet, die Welt mit Alfons' Augen betrachten; Begreifen, woher der diese ganzen Verrücktheiten hat.

    Michael Ende ist aber nicht dem Alfons sein Erziehungsberechtigter. Wie kommt der dazu, ein Buch zu drucken, was alles er nach seiner völlig unmaßgeblichen Meinung am Alfons so toll findet? "

   Und jetzt beginnen wir mit dem eigentlichen Tema. Wie tust du eine kubistische Gleichung lösen?

        x  ³  +  a2  x  ²  +  a1  x  +  a0  =  0    (  2.1a  )

    Jetzt rätst du eine Wurzel x3 ; und dann kommt jenes quietschende, verrostete Getriebe der ===> Polynomdivision ( PD ) ins Spiel. Wenn du ( 2.1a ) durch den Linearfaktor ( x - x3 ) dividierst, kriegst du das Faktorpolynom

       x  ²  -  p  x  +  q  =  0     (  2.1b  )

   Und hier nun habe ich eine ee-le-fan-töö-se Entdeckung gemacht. Den Vieta von ( 2.1b ) kennst du

     p  =  x1  +  x2     (  2.2a  )

     q  =  x1  x2    (  2.2b  )  

     Auch die kubische Gleichung ( 2.1a ) besitzt einen Vieta; er ist nur nicht so popolär.

    a2  =  -  (   x1  +  x2  +  x3  )        (  2.3a  )

    a0  =  -  x1  x2  x3     (  2.3b  )

   Diese Ausdrücke ( 2.2;3a;b ) nennt man übrigens ===> symmetrische Funktionen, weil in ihnen alle Nullstellen gleichberechtigt, quasi ununterscheidbar vorkommen.

   Typisch für mich ist ja, dass ich auf einmal den Rückwärtsgang einlege. Quasi das Ei des Gilgamesch. Setze mal p aus ( 2.2a ) ein in ( 2.3a ) so wie q aus ( 2.2b ) in ( 2.3b ) ; klar, wie ich das meine?

    a2  =  -  (  p  +  x3  )    (  2.4a  )     AF1

    a0  =  -  q  x3      (  2.4b  )     AF2

     Du musstest sicher schon anspruchsvollere LGS lösen als dieses ( 2.4ab )  Hier die ===> Quarks aus der Kernthysik sind ja auch benannt nach einem Romanhelden; und so fand ich es denn ganz witzig,  meine obigen pq-Formeln ( 2.4ab )  zu benennen nach der Figur " König Alfons 3/4 XII von Lummerland " als " erste und zweite Alfonsinische Formel "

Antwort
von gilgamesch4711, 5

  Ich möchte dir mal von einer eigenen Entdeckung berichten; wäre die Frage, ob du mir geistig folgen kannst. Weil Beispiele machen alles gleich viel anschaulicher. Geh mal aus von der biquadratischen Gleichung ( BQG )

    x  ^ 4  -  p  x  ²  +  q  =  0     (  1  )

    Jetzt machst du diese Substitution

    z  :=  x  ²       (  2a  )

    z  ²  -  p  z  +  q  =  0  |  MF     (  2b  )

    z1;2  =  p / 2  -/+  sqr  [  ( p/2 )  ²  -  q  ]      (  2c  )

   I.A. nutzt uns das jedoch nichts, da wir ja x suchen und nicht z . Das Problem der " Wurzelwurzel " , wie ich es nenne: Wie zieht man aus ( 2c ) explizit die Wurzel? Musst du über ( 2c ) einfach fatalistisch einen Wurzelhaken machen, oder kannst du das auflösen?

    Mein Ansatz; betrachte mal den Vieta von ( 2b )

    p  =  z1  +  z2  =     (  3a  )

      =  x1  ²  +  x2  ²     (  3b  )

     q  =  z1  z2      (  4a  )

     q  =:  u  ²     (  4b  )

       u  =  x1  x2     (  4c  )

     Für den Fall, dass q eine Quadratzahl ist, haben wir nämlich in ( 4c ) bereits erstmals die Wurzel gezogen statt zu quadrieren wie in der Mitternachtsformel ( MF ) üblich. Siehst du, dass ( 4c ) die quadratische Ergänzung von ( 3b ) bildet?

   (  x2  +  x1  )  ²  =  p  +  2  u    |     sqr       (  5a  )

      x2  +  x1  =  sqr  (  p  +  2  u  )      (   5b  )

      Entsprechend findest du mit der 2. binomischen Formel

      x2  -  x1  =  sqr  (  p  -  2  u  )      (   5c  )

    ( 5bc ) enthalten keine Wurzeln von Wurzeln mehr, sondern nur noch " einfache " Wurzeln; das LGS ( 5bc ) ist zu lösen. Eine neue MF ist geboren; Halleluja.

Antwort
von 02210, 6

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