Frage von xmxuxnxdxix, 51

Gibt es eine einfache Möglichkeit die Nullstellen quadratischer Gleichungen zu rechnen ?

Gibt es eine einfache Möglichkeit die Nullstellen quadratischer Gleichungen zu rechnen? Also so, wie bei lineare Gleichungen c:a?

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von Willibergi, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 9

Zum Lösen quadratische Gleichungen gibt es mehrere Möglichkeiten:

1. Äquivalenzumformung

f(x) = x² - 1
0 = x² - 1
1 = x²
x = ±√1
=> Nullstellen bei -1 und 1

2. Satz des Nullprodukts

f(x) = x² + 4x
0 = x² + 4x
0 = x(x + 4)
=> Nullstellen bei -4 und 0

oder auch

g(x) = x² - x - 12
0 = x² - x - 12
0 = (x - 4)(x + 3)
=> Nullstellen bei -3 und 4

3. Binomische Formeln

f(x) = x² - 12x + 36
0 = x² - 12x + 36
0 = (x - 6)²
=> Nullstelle bei x = 6

4. abc-/pq-Formel

f(x) = ax² + bx + c
(a, b, c ∈ ℝ)

              -b ± √(b² - 4ac)
x₁₋₂ = -----------------------------
                     2a

(a, b und c sind beliebige reelle Zahlen)

oder auch

g(x) = x² + px + q
(p, q ∈ ℝ)

            p           p
x₁₋₂ = - –– ± √( (––)² - q)
            2           2

(p und q sind beliebige reelle Zahlen)

5. Quadratische Ergänzung mit Äquivalenzumformung

f(x) = -x² - 8x + 22
      = -(x² + 8x) + 22
      = -(x² + 8x + 4² - 4²) + 22
      = -((x + 4)² - 4²) + 22
      = -(x + 4)² + 4² + 22
      = -(x + 4)² + 16 + 22
      = -(x + 4)² + 38

// Die quadratische Ergänzung kannst du an
// anderer Stelle lernen ^^

0 = -(x + 4)² + 38
-38 = -(x + 4)²
38 = (x + 4)²
±√38 = x + 4
x = ±√38 - 4
=> Nullstellen bei -√38 - 4 und √38 + 4

––––––––––––

Dies waren hier die am meisten verwendeten Lösungsmethoden quadratischer Gleichungen.
Welche davon angewendet wird, hängt natürlich immer von der vorliegenden Gleichung ab. ^^

Ich hoffe, ich konnte dir helfen; wenn du noch Fragen hast, kommentiere einfach.

LG Willibergi

Antwort
von TechnikSpezi, 21

Natürlich, in der Mathematik kannst du alles berechnen. Okay, nein, fast alles.

Aber das ist für mich mittlerweile das aller einfachste auf der Welt, früher habe ich mich da allerdings auch schwer getan ;)

Also, erst einmal solltest du wissen dass du bei quadratischen Funktionen 3 Fälle von Nullstellen haben kannst:

  1. Es gibt keine Nullstelle, da die Parabel die x-Achse gar nicht schneidet weil sie nach oben verschoben ist.
  2. Es gibt nur 1 Nullstelle, z.B. bei der Normalparabel (f(x) = x²). Hier liegt der Scheitelpunkt genau auf der Nullstelle bzw. ist der Scheitelpunkt in dem Fall auch die Nullstelle.
  3. Der wohl häufigste Fall, du hast 2 Nullstellen.

Alle Fälle kannst du dir hier nochmal genauer anschauen:

http://www.mathebibel.de/quadratische-funktionen-nullstellen-berechnen

_____________________________________________________

Um die Nullstellen nun zu berechnen gibt es mehrere Möglichkeiten.

Das Ziel ist es wie so oft die quadratische Gleichung nach x aufzulösen und dabei bekommst du dann die Nullstellen raus (oder eben nicht ;)).

Einfaches Beispiel bei der Normalparabel. Wie schon gesagt ist die Funktion der Normalparabel:

f(x) = x²

Um hier nach x aufzulösen müssen wir als aller erstes immer die Funktion erst einmal nullstellen. Also:

x² = 0

Jetzt ziehst du einfach die (Quadrat-) Wurzel, unzwar sowohl die positive als auch die negative, da wir ja wissen, dass man normalerweise immer 2 Nullstellen hat. Wie aber schon gesagt hat diese Funktion "nur" 1 Nullstelle, denn 0 ist nun mal weder positiv noch negativ und somit wären beide Nullstellen 0.

Das Vorgehen ist immer das selbe, die Funktion nullstellen also lautet die Bedingung f(x) = 0. Anschließend löst du nach x auf. Das ganze geht aber über verschiedene Wege und nicht immer funktionieren alle.

Wenn du nämlich jetzt z.B. die Funktion:

f(x) = x² + 15x + 5

Dann setzt du die Funktion erst einmal wieder gleich null:

x² + 15x + 5 = 0

Jetzt einfach die Wurzel ziehen funktioniert nicht, und auch wenn du jetzt die 5 auf die andere Seite bringen würdest könntest du das x² nicht mit dem x verrechnen oder zusammenfassen.

In diesem Fall benutzt du dann einfach die PQ-Formel.

Hiermit kannst du die PQ-Formel ganz gut lernen:


Hier findest du noch einmal Hilfe zur PQ-Formel schriftlich:

http://www.mathebibel.de/pq-formel

Es gibt aber noch einige andere Wege wie z.B. das Faktorisieren bzw. Ausklammern oder z.B. auch die quadratische Ergänzung.

Die Wege kann ich dir jetzt nicht einfach mal alle erklären, diese Aufgabe hat dein Mathematik Lehrer bzw. deine Mathematik Lehrerin über einige Monate hinweg. Also, aufpassen! ;)

Kommentar von Willibergi ,

"Natürlich, in der Mathematik kannst du alles berechnen. Okay, nein, fast alles."

Was denn nicht? ^^

LG Willibergi

Kommentar von TechnikSpezi ,

Ich habe gelernt dass du nie nie sagen darfst, denn dann gibt es immer irgendwelche Leute die dir auch da wieder versuchen irgendwas in den Hals zu schieben, was sowieso nie was an der Antwort ändert oder überhaupt damit zu tun hat ;)

Mir würde definitiv gerade auch nichts einfallen, aber ich habe es mir angewöhnt nie wieder einen Satz zu schreiben wo ich sage dass etwas unmöglich ist oder es was nicht gibt ;)

Antwort
von Remmelken, 24

Du bringst die Gleichung in die Nullform (0=px²+qx+b) und wendest dann die pq-Formel an.

Kommentar von Neweage ,

wohl eher x²+px+q. Vor dem x² darf kein Faktor (bzw. muss eine 1) stehen.

Kommentar von Remmelken ,

Stimmt.

Antwort
von Blvck, 24

- Äquivalenzumformung

- Ausklammern

- pq Formel/abc Formel

Antwort
von TheAceOfSpades, 15

Pq Formel 

Also für f = x^2 + px + q

Nullstellen x1 und x2 

x1 = -p/2 + wurzel {(p/2)^2 - q}

x2 = -p/2 - wurzel {(p/2)^2 - q}

Antwort
von Internetwaise, 18

Mitternachtsformel/Lösungsformel

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