Frage von rananna1849, 43

Gibt es ein Verfahren, bei dem man anhand der Primfaktorzerlegung von x herausfinden kann, ob x genau zb. 6 positive teiler hat?

Gibt es so ein Verfahren und wenn ja, wie sollte das funktionieren?

Expertenantwort
von Rhenane, Community-Experte für Mathe, 17

Kannst Du die Zahl in genau 3 Primfaktoren zerlegen,von denen 2 Faktoren gleich sind, dann hat die Zahl genau 6 Teiler:

Teiler: p1, p2, p3 (Annahme: p1=p2)

Dann ist die Zahl teilbar durch:
p1, p3, p1 * p2, p1 * p3, p1 * p2 * p3 (entspricht der Zahl selbst) und die 1

Beispiel: 12
12= 2 * 2 * 3
=> Teiler: 2, 3, 4, 6, 12, 1

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathe, 18

Hallo,

wenn Du lauter unterschiedliche Primfaktoren hast und Du möchtest sämtliche Teiler außer 1 und der Zahl selbst berechnen, bildest Du die Summe von k=1 bis k=n-1 von (n über k).

Beispiel: Du zerlegst die 30 in die Primfaktoren 2, 3 und 5.

Aus diesen kannst Du (3 über 1)+(3 über 2)=3+3=6 Kombinationen (Teiler) bilden, nämlich 2, 3, 5, 2*3, 2*5 und 3*5

Jede Zahl also, die sich in drei unterschiedliche Primfaktoren zerlegen läßt, hat 6 Teiler (ohne die 1 und die Zahl selbst)

Hast Du vier unterschiedliche Faktoren, etwa 3, 7,11, 17, kannst Du daraus

4+6+4=14 unterschiedliche Kombinationen bilden, somit hat die 3927 genau 14 Teiler (mit der 1 und sich selbst sogar 16).

Die Summanden, aus denen sich die Zahl der Kombinationen addiert, sind die Binomialkoeffizienten von n, der Zahl der Primfaktoren, über 1 bis n-1.

Bei vier Faktoren sind es (4 über 1)+(4 über 2)+(4 über 3)=4+6+4=14.

Das funktioniert so aber nur, wenn alle Faktoren unterschiedlich sind.

Herzliche Grüße,

Willy

Antwort
von GrobGeschaetzt, 21

Wenn die Zahl die Primfaktoren a, b und c hat, wobei es drei verschiedene Primzahlen sind, dann ist sie durch a, durch b, durch c, durch a*b, durch a*c und durch b*c teilbar. Das sind dann genau die 6 gesuchten Teiler.
Das heißt, du musst errechnen, wie viele Kombinationen es aus den vorhandenen Primfaktoren gibt. Das sind die Anzahl der Teiler.

Kommentar von Rhenane ,

und durch a * b * c und durch 1, somit sinds 8 Teiler

Antwort
von kindgottes92, 18

Naja, Primfaktorzerlegung, dann sieht man, wie viele Primzahlen drin stecken und dann muss man mit Kombinatorik noch alle möglichen Kombinationen aus diesen ermitteln.

Bsp.: 20328 = 2³ * 3 * 7 * 11²

Das sind dann schonmal vier verschiedene Primzahlen.

Dann muss man Kombinationen bilden:

1

2; 3; 7; 11;

2²; 2*3; 2*7; 2*11; 3*7; 3*11; 7*11; 11²;

2³; 2²*3; 2²*7; 2²*11; 2*3*7; 2*3*11; 2*7*11; 2*11²; 3*7*11; 3*11²; 7*11²;

2³*3; 2³*7; 2³*11; 2²*3*7; 2²*3*11; 2²*7*11; 2²*11²; 2*3*7*11; 2*3*11²; 2*7*11²; 3*7*11²

2³*3*7; 2³*3*11; 2³*7*11; 2³*11²; 2²*3*7*11; 2²*3*11²; 2²*7*11²; 2*3*7*11²;

2³*3*7*11; 2³*3*11²; 2³*7*11²; 2²*3*7*11²;

2³*3*7*11²

Wenn ich mich nicht verzählt habe, sind das 48 mögliche Teiler.

Bei so großen Zahlen natürlich langwierig, bei kleineren Zahlen geht das schneller.

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