Frage von JulioSanchezz, 57

Gewinn Minimal werden lassen, Mathe Hilfe?

Kostenfunktion: 20x - 480 * Wurzel aus x + 5000

Aufgabenstellung: " a) Bestimmen Sie x so, dass die Gesamtkosten minimal werden. b) Wie groß sind die minimalen Kosten?"

Meine Frage ist muss ich bei a und b die Kostenfunktion durch x teilen, das es ja das Minimum ist? Oder bei Aufgabe a nur die Ableitung = 0 setzen?

Danke für Antworten

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von DepravedGirl, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 19

K(x) = 20 * x - 480 * √(x) + 5000

dafür kannst du auch schreiben -->

K(x) = 20 * x - 480 * x ^ (1 / 2) + 5000

K(x) = Kostenfunktion

1-te Ableitung bilden -->

K´(x) = 20  - (1 / 2) * 480 * x ^ (1 / 2 - 1)

K´(x) = 20 - 240 * x ^ (- 1 / 2)

K´(x) = 20  - 240 / (x ^ (1 / 2))

K´(x) = 20  - 240 / √(x)

2 - te Ableitung bilden -->

K´´(x) = (-1 / 2) * 240 * x ^ (- 1  / 2 - 1)

K´´(x) = 120 * x ^ (-3 / 2)

K´´(x) = 120 / √(x ^ 3)

Die Kostenfunktion wird dort minimal wo die 1-te Ableitung eine Nullstelle hat, deshalb musst du die Nullstellen der 1-ten Ableitung K´(x) bestimmen -->

K´(x) = 20  - 240 / √(x)

0 = 20 - 240 / √(x) | -20

-20 = -240 / √(x) | * √(x)

-20 * √(x) = -240 | : (-20)

√(x) = 12 | (...) ^ 2

x = 144

Nun wissen wir wo ein Extremwert liegt, aber die Art des Extremwertes kennen wir noch nicht, dazu müssen wir ihn in die 2-te Ableitung einsetzen -->

K´´(x) = 120 / √(x ^ 3)

K´´(144) = 120 / √(144 ^ 3) = 0.0694444444444

Da K´´(144) > 0 ist, deshalb liegt an der Stelle x = 144 tatsächlich ein Minimum.

Um nun die minimalen Kosten auszurechnen musst du den x-Wert, wo die 1-te Ableitung ihre Nullstelle hat, in K(x) einsetzen -->

K(x) = 20 * x - 480 * √(x) + 5000

K(144) = 20 * 144 - 480 * √(144) + 5000 = 2120

Die Einheit könnte € sein, wurde aber nicht angegeben.

Kommentar von JulioSanchezz ,

Super danke, aber ist es zwingend nötig x nochmal in die 2. Ableitung einzusetzen? oder kann man von 144 > 0 = Minimum nehmen?

Kommentar von DepravedGirl ,

Wenn du mal richtig komplizierte Funktionen hast, wo das alles nicht so glasklar ist, dann wirst du die 2-te Ableitung brauchen.

Ich habe das mit der 2-ten Ableitung mit eingebaut, damit du den kompletten Rechenweg, und somit alle Informationen, hast.

Kommentar von DepravedGirl ,

Vielen Dank für den Stern :-)) !

Expertenantwort
von MeRoXas, Community-Experte für Mathe, 42

Bei a) und b) musst du die Ableitung = 0 setzen, denn es ist ein Minimum gesucht.

Kommentar von JulioSanchezz ,

aber die Kostenfunktion bei a und b durch x ?

Kommentar von MeRoXas ,

Warum solltest du durch x teilen?

Kommentar von MeRoXas ,

Von einem Betriebsminimum habe ich bislang noch nichts gehört.

Habe mich also bei Wikipedia schlau gemacht:

Ein Betriebsminimum beschreibt die Koordinaten des Tiefpunktes der durchschnittlichen variablen Stückkosten.

Du willst aber den Gewinn minimieren.

Habe mich vorhin vertan - du brauchst erst die Gewinnfunktion.

Diese besteht aus der Erlösfunktion E(x) minus der Kostenfunktion K(x).

Davon bildest du die Ableitung und setzt = 0.


So würde ich es jedenfalls machen, bin mir aber auch nicht zu 100% sicher.


EDIT: Sehe gerade; in deiner Überschrift steht Gewinn minimieren, in der Aufgabe Gesamtkosten. In dem Fall hast du (scheinbar) Recht. Wie gesagt, das Betriebsminimum war mir bis gerade eben fremd.

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