Frage von JonasBraun9, 74

geometrische Reihe, Kugeln - kann mir jemand helfen?

Hey Leute,

ich stehe seit einiger Zeit vor einem Problem und komme nicht weiter. Auf eine Kugel soll eine andere gesetzt werden mit dem halben Radius des vorherigen und das unendlich weiter(schnermannähnlich). Nun muss ich eine Formel für das V. , die Oberfl. und die Höhe aufstellen abh. von der Anzahl der Kugeln. Habe mir bereits die Verhältnisse angesehen und scheitere an dem Umschreiben des Summenzeichens in meiner Formel . Mir fehlt nur der letzte Schritt um die allgemeine Formel  aufzustellen.

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von Roach5, 63

Ich rechne es dir für das Volumen vor, dann solltest du den Rest selbst schaffen. Ich fange, damit es in die Formel passt bei der nullten Kugel an.

Die nullte Kugel hat Volumen 4/3 π r³, die erste hat Volumen 4/3 π (r/2)^3, die n-te hat Volumen 4/3 π (r/(2^n))³ = 4/3 π r³ * (1/2^3)^n = 4/3 π r³ * (1/8)^n.

Wenn du unendlich solche Kugeln hast, hast du also ein Gesamtvolumen von:

4/3 π r³ Σ(1/8)^n = 4/3 π r³ * (8/7) [nach geometrischer Reihe 1/(1-(1/8)) = 8/7] = 32/21 π r³.

LG

Kommentar von JonasBraun9 ,

Vielen Danke erstmal aber könntest du mir die letzten beiden Zeilen erklären:

1. Wieso hast du Σ(1/8)^n durch 8/7 ersetzt

2. Wenn 32/21 π r³ die allgemeine Formel ist:

wieso ist keine Abhängigkeit von n enthalten oder übersehe ich etwas?

Kommentar von Roach5 ,

Das Σ(1/8)^n ist soll eine unendliche Reihe sein, also 1 + 1/8 + 1/8² + 1/8³ + ..., also eine geometrische Reihe.

Ich dachte, da du im Titel "geometrische Reihe" hast, kenntest du diese bereits.

Generell gilt, dass Σq^n = 1/(1-q), wenn |q| < 1. Wenn du also q = 1/8 setzt, kommst du auf 1/(1-1/8) = 1/(7/8) = 8/7.

Wenn du dann die Formel vereinfachst, kommst du auf (4 * 8)/(3 * 7), die 4 und die 3 kommen aus der Formel für die Kugel.

Die Formel am Ende ist nichtmehr abhängig von n, da du ja unendlich Kugeln hast, und der Wert, den ich gegeben habe, der Grenzwert des Volumens ist.

LG

Kommentar von JonasBraun9 ,

Kann es sein, dass 32/21 π r³ der Wert ist gegen den das Volumen aller Kugeln konvergiert? Brauche bitte schnell eine Antwort damit ich weitermachen kann

Kommentar von Roach5 ,

Ja, der "Schneemann" insgesamt hat dann ein Volumen von 32/21 π r³, wobei r der Radius der größten Kugel ist.

Kommentar von JonasBraun9 ,

habe deinen Kommentar nicht gelesen bevor ich den neuen schrieb.

Vielen Dank habe mir im Internet deine Rechenschritte angesehen und konnte alles nachvollziehen und auf die anderen Aufgaben übertragen, jedoch wollte ich ursprünglich wissen, wie man eine allgemeine Formel herleitet für ein beliebiges n.

Du hast mir bereits sehr geholfen, aber kannst du mir das bitte auch erklären und ich finde es toll wie schnell du immer antwortest.

Kommentar von Roach5 ,

Achso, wenn du ein beliebiges n hast und nicht n gegen unendlich (also jetzt nurnoch ein "endlicher" Schneemann), dann ist deine geometrische Reihe nurnoch eine geometrische Summe, also

1 + q + ... + q^n.

Diese Summe hat offensichtlich einen Wert, nennen wir S. Wenn wir (1-q) S anschauen, dann haben wir eine Teleskopsumme, nämlich:

(1-q)S = 1 + ... + q^n - q - ... - q^n - q^(n+1) = 1 - q^(n+1), durch (1-q) teilen und du hast:

1 + q + ... + q^n = S = (1 - q^(n+1))/(1-q).

Wenn du endlich viele (n viele) Kugeln hast, setzt du q = 1/8 ein und bekommst als Volumen:

4/3 π r³ * (1 - q^(n+1))/(1 - q).

Wenn du n gegen unendlich gehen lässt, bekommst du das, was ich dir eben schon gegeben habe (weil |q| < 1 und deshalb der Zähler gegen 1 geht).

Kommentar von nchan ,

Habe eine ähnliche Aufgabe: Habe bereits einen Wert für Volumen und Höhe gegeben und soll den Radius und die n-Schritte herausfinden. Habe bereits versucht in einer Formel nach einer Variabel umzuformen und in die andere einzusetzen was ich aber nicht komplett auflösen kann. Kannst du mir bitte auch helfen?

Expertenantwort
von SlowPhil, Community-Experte für Mathematik, 16

2 Rückfragen:

  1. Darfst Du das Wissen verwenden, dass für |x|<11 + x + x² + x³ +… gegen 1/{1–x} konvergiert?

  2. Geht es nur darum, die Grenzwerte für unendlich viele Kugeln aufzustellen, oder musst Du für jedesn = 0, 1, …der hinzugefügten kleineren Kugelnh(n), A(n), V(n) angeben?

In jedem Fall ist es sinnvoll, sich zu überlegen, was man als wesentliches Formelzeichen extrahieren kann - eben jenes oben erwähnte x.

Die Kugeldurchmesser, Kugeloberflächen und Kugelvolumina haben nämlich jeweils einen gemeinsamen Vorfaktor, den man nach dem Distributivgesetz ausklammern kann.

--

Im günstigsten Fall kannst Du die in 1. genannte Formel verwenden und für x das einsetzen, was gesucht ist.

Offensichtlich ist die Formel für die Höhe eine geometrische Reihe in ½ mit dem gemeinsamen Vorfaktor 2r.

Die Formel für die Oberfläche ist eine geometrische Formel in ¼ mit dem gemeinsamen Vorfaktor 4πr².

Die Formel für das Volumen ist eine geometrische Reihe in ⅛ mit dem gemeinsamen Vorfaktor 4/3πr³.

--

Falls Du nicht die fertige Formel verwenden darfst, und falls Du eventuell sogar für jedes in die entsprechenden Angaben machen musst, so musst Du aus der geometrischen Reihe eine Folge machen, und zwar so, dass Du für jedes n sofort eine Formel parat hast, aber eben erst mal in x, wofür Du dann ½, ¼ bzw. ⅛ einsetzen kannst.

Kommentar von JonasBraun9 ,

Meine Fragen sind schon geklärt, aber trotzdem vielen Dank. Komme gerne auf deine Hilfe zurück, wenn ich sie benötigen sollte^^

Expertenantwort
von SlowPhil, Community-Experte für Mathematik, 12

Wenn Du die Summe
1 + x + x² + … + xⁿ
betrachtest und schon die Formel für die unendliche Reihe kennst, hast Du vielleicht schon die Idee, dass Du mit (1–x) erweitern musst. Beim Ausmultiplizieren des Zählers
(1 + x + x² + … + xⁿ) (1–x)
entstehen lauter Terme, die einander aufheben:
1×1 – 1×x + x×1 – x×x + 1×x² – … +… – xⁿ×x
= 1 – x^{n+1}
Je größer n, desto kleiner die Differenz zu 1. Der Nenner bleibt 1–x.
So hast Du eine Folge
(a_n) = (1—x^{n+1}) /(1—x).
Sehr handlich.
Für x brauchst Du nur noch das Richtige einzusetzen (s. vorige Antwort).

Antwort
von YStoll, 43

Dürfen deine Formeln Summenzeichen beinhalten? Dann wäre das recht einfach...

Kommentar von JonasBraun9 ,

nein leider nicht :(

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