Frage von cucks, 27

Gegenseitige Lage von Geraden; wann weiß ich wenn Sie windschief sind?

Habe eine Aufgabe gerechnet mit den folgenden Ebenen

E1 x:<1,-5,8>+r*<-2,-4,6>

E2 x:<5,3,-8>+s*<11,-2,-13>

Hab das LGS aufgestellt und dann die Zeile -4=11s+2r mit 2 multipliziert und anschließend von der Zeile mit -8=-2s+4r abgezogen - ist das richtig bzw. darf ich das so machen ?

Hab schließlich als Lösung 24s=0 raus. Kann ich überhaupt bei Geraden mit 2 Variablen einen Schnittpunkt im 3d-Koordinatensystem finden ?

Gruß Cucks

Expertenantwort
von KDWalther, Community-Experte für Mathematik, 10

Mit Deiner Überlegung im Kommentar zu NoTrolling bin ich nicht einverstanden.

Du prüfst mit s=0 ja, ob der Aufpunkt von g2 (nicht E2), also (5|3|-8), auf der Geraden g1 liegt. Und falls nicht, sollen die Geraden windschief sein.

Windschief sind sie (vgl. NoTrolling), wenn sie nicht parallel sind und sich nicht schneidn. Aber warum sollte der Schnittpunkt ausgerechnet der Aufpunkt von g2 (oder g1) sein?

Also vielleicht besser: erst mal feststellen (dazu bedarf es eigentlich keiner großen Rechnung), ob die Geraden parallel sind (also die Richtungsvektoren kollinear sind).
Falls nein, sind die Geraden "schnittig" oder windschief.

Um auf Schnittpunkt zu prüfen, musst Du die beiden kompletten Terme gleichsetzen, um auf ein LGS mit 3 Gleichungen und 2 Unbekannten (r und s) zu kommen. Erst wenn dieses keine (eindeutige) Lösung hat, weißt Du, dass die Geraden windschief sind.

Kommentar von KDWalther ,

Mein Programm MatheAss meldet mir: die Geraden sind windschief; also dürfte beim LGS nicht eindeutig s = 0 herauskommen. Vielmehr müsste es zum Widerspruch kommen.

Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Mathematik & Schule, 8

Windschife sind sie, wenn sie
nicht identisch sind,
nicht parallel sind
oder sich schneiden.

Das entscheidet man nacheinander.

Antwort
von NoTrolling, 27

hat das LGS eine Lösung: Sie schneiden sich.

hat das LGS unendlich viele Lösungen: Sie sind identisch.

hat das LGS keine Lösung:

Fall 1 Sie sind parallel, wenn die Richtungsvektoren linear abhängig sind.

Fall 2 Sie sind windschief.

Kommentar von cucks ,

Muss jetzt das s=0 einsetzen, dann r ausrechnen und anschließend gucken ob diese Variablen alle Gleichungen erfüllen !

Falls das nicht der Fall ist, sind sie windschief oder ?

Kommentar von NoTrolling ,

Ich denke schon. Warum machst du eigentlich diese Untersuchung?

Kommentar von cucks ,

Ja weil ich ja vorher nicht weiß ob sie windschief sind oder ?

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