Ich habe einen Schadenersatzanspruch gegen ein Unternehmen. Dies hat jedoch die Abwicklung an seine Versicherung weitergegeben, die weder auf meine Schreiben noch auf sonst etwas reagiert. Muss ich nun gegen die Versicherung oder gegen das Unternehmen Klagen?

Dein Ansspruch besteht gegen das Unternehmen, also die Klage gegen das Unternehmen. Mit der Versicherung hast Du keinen Vertrag, die haben nur ein Geschäftsverhältnis mit dem Unternehmen.
Die Klage richtet sich auf jeden Fall gegen das Unternehmen. Die Versicherung wird sich zwar wahrscheinlich im Auftrag des Unternehmens um einen Anwalt für das Unternehmen kümmern (weil sie im Falle der Niederlage ja dann einsatzpflichtig ist; oft arbeiten die Versicherungen mit bestimmten Anwälten zusammen), aber der Beklagte ist auf jeden Fall die Firma.
Die Kanzlei, in der ich arbeite, vertritt auch einige Versicherung in solchen Fällen. Beklagter ist immer der Schadenverursacher, also der Versicherungsnehmer der Versicherung.
Immer an den Schadensverursacher wenden - die Versicherung reguliert nur und hat den Schaden nicht verursacht.