Frage von MjeOsX, 43

Gegeben sind zwei Mengen A und B. Die Anzahl Abbildungen zwischen A und B lassen sich durch |B|^|A| bestimmen. Kann mir jemand verdeutlichen weshalb das so ist?

Expertenantwort
von PWolff, Community-Experte für Mathematik, 16

Nehmen wir erst mal endliche Mengen. (Für unendliche Kardinalzahlen definiert man die Potenz durch die Anzahl der Abbildungen.)

Sei A = {a_1, a_2, ..., a_m}, B = {b_1,  b_2, ..., b_n}

Offensichtlich ist |A| = m, |B| = n.

Sei f: A -> B

Dann kann a_1 durch f auf b_1 abgebildet werden, oder auf b_2, oder ... oder auf b_n. Das sind n Möglichkeiten für das erste Element von A.

a_2 kann ebenfalls auf b_1 oder b_2 oder ... oder b_n abgebildet werden. Das sind auch hier n Möglichkeiten.

Da wir das Bild von a_2 unabhängig vom Bild von a_1 wählen können (es gibt ja keine Einschränkung für f, außer dass es von A in B abbildet), haben wir für a_1 und a_2 also insgesamt n * n = n^2 Möglichkeiten.

Bei a_3 kommen wieder n Möglichkeiten hinzu, und zwar für jede Auswahlmöglichkeit der Bilder von a_1 und a_2, damit haben wir für a_1 bis a_3 insgesamt n^3 Möglichkeiten.

Usw.

Für a_m haben wir ebenfalls wieder n Möglichkeiten, ein Bild aus B zu wählen.

Insgesamt haben wir also n^m Möglichkeiten, eine Abbildung von A in B zu bilden. Da m = |A| und n = |B| ist, ist dies gerade |B|^|A|.

Antwort
von AkayaKuromoto, 20

Dieses Zeichen steht für Schnittmenge, also alles was in beiden Mengen enthalten ist.

Bild sollte verdeutlichen ^-^

Kommentar von ELLo1997 ,

Ich glaube nicht, dass der Fagensteller hier die Schnittmenge meint, da man die SchnittMENGE eben nur von Mengen bilden kann. Die Betragsstriche bedeuten aber die Kardinalität, also die ANZAHL der Elemente in der Menge.

Kommentar von AkayaKuromoto ,

Ich lass dann lieber die anderen vor :P Hab die glatt überlesen

Kommentar von MjeOsX ,

Ja, das ist richtig :) Danke nochmals allen.

Antwort
von YStoll, 15

Jedes Element von A kann auf |B| verschiedene Elemente abgebildet werden.

Da keine weiteren Voraussetzungen an die Abbildungen gestellt werden, gilt dies für jedes a aus A unabhängig.

Für |A|=1 gibt es also |B| mögliche Abbildungsvorschriften.
Für |A|=2 gibt es also |B|² mögliche Abbildungsvorschriften.
Für |A|=3 gibt es also |B|³ mögliche Abbildungsvorschriften.

Usw.

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